Funktionen in der Analysis

Konstante Funktion f(x) = c Die konstante Funktion f(x) = c: ihr Graph als waagerechte Gerade, warum ihre Ableitung 0 ist, ihr Integral cx + C, Grenzwerte und typische Fehler. Lineare Funktion f(x) = mx + b Die lineare Funktion f(x) = mx + b: Steigung und y-Achsenabschnitt, der Graph als Gerade, warum die Ableitung die Steigung m ist, Integral und Beispiele. Quadratische Funktion f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \ne 0 Die quadratische Funktion f(x) = ax² + bx + c: Parabel, Scheitelpunktformel, Nullstellen, Ableitung 2ax + b, Integral und Rechenbeispiele. Potenzfunktionen f(x) = x^n Potenzfunktionen f(x) = xⁿ für natürliche, negative und gebrochene n: Graphen, Definitionsbereich, Ableitung nxⁿ⁻¹, Integral und der Sonderfall n = -1. Ganzrationale Funktionen f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) erklärt: Grad, Leitterm, Verhalten im Unendlichen, Nullstellen, Extrempunkte, Ableitung und Integral. Gebrochenrationale Funktionen f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad Q(x) \ne 0 Gebrochenrationale Funktionen P(x)/Q(x): Definitionsbereich, senkrechte und waagerechte Asymptoten, Lücken, Quotientenregel und Partialbruchzerlegung. Kehrwertfunktion f(x) = \frac{1}{x} Die Kehrwertfunktion 1/x: Hyperbel und Asymptoten, die Ableitung -1/x², warum ihr Integral ln|x| + C ist, und ihre einseitigen Grenzwerte. Wurzelfunktion f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} Die Wurzelfunktion f(x) = √x: Definitionsbereich und Graph, die Ableitung 1/(2√x), das Integral (2/3)x^(3/2) + C und die senkrechte Tangente bei 0. Betragsfunktion f(x) = |x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} Die Betragsfunktion |x|: ihr V-förmiger Graph, warum sie bei 0 stetig, aber nicht differenzierbar ist, ihre Ableitung x/|x| und ihr Integral.

Natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x Die natürliche Exponentialfunktion e^x: was e ist, ihr Graph, warum sie ihre eigene Ableitung und Stammfunktion ist, wichtige Grenzwerte, Reihe und Beispiele. Exponentialfunktionen f(x) = b^x, \quad b > 0,\ b \ne 1 Exponentialfunktionen f(x) = b^x: Graphen für Wachstum und Zerfall, Eigenschaften, die Ableitung b^x ln b, das Integral b^x / ln b + C und Beispiele. Natürlicher Logarithmus f(x) = \ln x Der natürliche Logarithmus ln x: Graph, Logarithmusgesetze, warum die Ableitung 1/x ist, das Integral x ln x - x + C und Rechenbeispiele. Logarithmusfunktionen f(x) = \log_b x, \quad b > 0,\ b \ne 1 Logarithmusfunktionen log_b x: Definition, Graphen, Logarithmusgesetze, Basiswechsel, die Ableitung 1/(x ln b), das Integral und Rechenbeispiele.

Sinusfunktion f(x) = \sin x Die Sinusfunktion sin(x): Graph, Definitions- und Wertebereich, Periode, wichtige Werte, die Ableitung cos(x), das Integral und typische Fehler. Kosinusfunktion f(x) = \cos x Die Kosinusfunktion cos(x): Graph, Definitionsbereich, Wertebereich, Periode, wichtige Werte, Ableitung −sin(x), Integral sin(x) + C und typische Fehler. Tangensfunktion f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} Die Tangensfunktion tan(x) = sin(x)/cos(x): Graph, senkrechte Asymptoten, Periode π, Ableitung sec²(x), Integral ln|sec x| + C und Beispiele. Sekans, Kosekans und Kotangens \sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} Die Kehrwerte der Winkelfunktionen sec x, csc x und cot x: Definitionen, Graphen, Asymptoten, alle drei Ableitungen und Integrale mit Rechenbeispielen.

Arkussinus f(x) = \arcsin x = \sin^{-1} x Die Arkussinusfunktion arcsin(x), die Umkehrfunktion des Sinus: Definitionsbereich [−1, 1], Wertebereich [−π/2, π/2], Graph, Ableitung, Integral und Beispiele. Arkuskosinus f(x) = \arccos x = \cos^{-1} x Die Arkuskosinusfunktion arccos(x), die Umkehrfunktion des Kosinus: Definitionsbereich [−1, 1], Wertebereich [0, π], Graph, Ableitung, Integral und Beispiele. Arkustangens f(x) = \arctan x = \tan^{-1} x Die Arkustangensfunktion arctan(x), die Umkehrfunktion des Tangens: Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich (−π/2, π/2), Ableitung und Integral.

Hyperbelfunktionen \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} Die Hyperbelfunktionen sinh x, cosh x und tanh x: Definition über e^x, Graphen, Identitäten, Ableitungen, Integrale und Rechenbeispiele.

Abschnittsweise definierte Funktionen f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x < a \\ f_2(x) & x \ge a \end{cases} Abschnittsweise definierte Funktionen erklärt: lesen und zeichnen, einseitige Grenzwerte, Stetigkeit und Differenzierbarkeit prüfen, stückweise integrieren. Abrundungs- und Aufrundungsfunktion \lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \le x\}, \quad \lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \ge x\} Die Abrundungsfunktion ⌊x⌋ (Gaußklammer) und die Aufrundungsfunktion ⌈x⌉: Definition, Treppengraphen, einseitige Grenzwerte, Stetigkeit, Ableitung und Integral.