Trigonometrische Substitution: Die drei Fälle, Dreiecke, Beispiele

Das Integral \int \sqrt{4 - x^2}\,dx sieht harmlos aus, und doch scheitert die Substitutionsregel (außerhalb der Wurzel steht kein x, das du aufnehmen könnte), und partielle Integration führt ins Leere. Die trigonometrische Substitution beseitigt die Wurzel vollständig, indem sie x durch eine trigonometrische Funktion ersetzt, und sie ist der Standardweg, um Ausdrücke mit \sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{a^2 + x^2} und \sqrt{x^2 - a^2} zu integrieren.

Was ist trigonometrische Substitution?

Bei der trigonometrischen Substitution ersetzt du x durch a\sin\theta, a\tan\theta oder a\sec\theta, sodass eine Pythagoras-Identität die Wurzel zu einem einzigen Term zusammenfallen lässt. Zum Beispiel gilt mit x = 2\sin\theta:

Die Wurzel ist weg, und übrig bleibt ein trigonometrisches Integral. Am Ende schreibst du das Ergebnis mit einem rechtwinkligen Dreieck wieder in x um.

Die drei trigonometrischen Substitutionen

Eine schnelle Merkhilfe: Minus x^2 heißt Sinus, Plus heißt Tangens, und x^2 minus heißt Sekans.

Zu den Substitutionen gehören eingeschränkte Winkelbereiche (-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} beim Sinus, -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} beim Tangens und 0 \le \theta < \frac{\pi}{2} beim Sekans für x \ge a). Auf diesen Bereichen sind \cos\theta, \sec\theta und \tan\theta nicht negativ, deshalb vereinfachen sich die Wurzeln ohne Betragsstriche.

Die Hilfsdreiecke, in Worten beschrieben

Um zu x zurückzukehren, zeichnest du ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel \theta und beschriftest zwei Seiten direkt aus deiner Substitution. Die dritte Seite liefert der Satz des Pythagoras, und sie ist immer die Wurzel aus der Aufgabe.

• Sinusfall, x = a\sin\theta. Da \sin\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} gilt, schreibst du x an die Seite gegenüber von \theta und a an die Hypotenuse. Die Ankathete ist \sqrt{a^2 - x^2}.
• Tangensfall, x = a\tan\theta. Da \tan\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} gilt, schreibst du x an die Gegenkathete und a an die Ankathete. Die Hypotenuse ist \sqrt{a^2 + x^2}.
• Sekansfall, x = a\sec\theta. Da \sec\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} gilt, schreibst du x an die Hypotenuse und a an die Ankathete. Die Gegenkathete ist \sqrt{x^2 - a^2}.

Sobald das Dreieck beschriftet ist, ist jede trigonometrische Funktion von \theta ein Verhältnis zweier Seiten. Im Sinusdreieck ist zum Beispiel \cot\theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}.

Das Verfahren in fünf Schritten

1. Bestimme die Form und wähle die Substitution aus der Tabelle.
2. Ersetze x, dx und die Wurzel.
3. Vereinfache und berechne das trigonometrische Integral in \theta.
4. Stelle das Dreieck aus deiner Substitution auf.
5. Schreibe mit dem Dreieck zurück in x um (und für ein alleinstehendes \theta mit \theta = \arcsin\frac{x}{a} oder Ähnlichem).

Rechenbeispiel 1: die Sinussubstitution

Berechne \int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}}.

Schritt 1. Form bestimmen. \sqrt{9 - x^2} ist \sqrt{a^2 - x^2} mit a = 3, also setze x = 3\sin\theta.

Schritt 2. Ersetzen. dx = 3\cos\theta\,d\theta, x^2 = 9\sin^2\theta und \sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta:

Schritt 3. Integrieren. \int\csc^2\theta\,d\theta = -\cot\theta, das Ergebnis ist also -\frac19\cot\theta + C.

Schritt 4. Dreieck aufstellen. \sin\theta = \frac{x}{3}: Gegenkathete x, Hypotenuse 3, Ankathete \sqrt{9 - x^2}.

Schritt 5. Zurück umschreiben. \cot\theta = \frac{\sqrt{9-x^2}}{x}, also

Rechenbeispiel 2: die Fläche eines Viertelkreises

Berechne \int_0^2 \sqrt{4 - x^2}\,dx.

Die Kurve y = \sqrt{4 - x^2} ist die obere Hälfte des Kreises mit Radius 2, dieses Integral sollte also ein Viertel der Kreisfläche ergeben, \frac14\pi(2)^2 = \pi. Prüfen wir das nach.

Schritt 1. Setze x = 2\sin\theta, also dx = 2\cos\theta\,d\theta und \sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta.

Schritt 2. Grenzen umrechnen. Bei x = 0 ist \sin\theta = 0, also \theta = 0. Bei x = 2 ist \sin\theta = 1, also \theta = \frac{\pi}{2}.

Schritt 3. Ersetzen.

Schritt 4. Halbwinkelformel verwenden \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}:

Da wir die Grenzen umgerechnet haben, mussten wir nicht zu x zurückkehren.

Rechenbeispiel 3: die Tangenssubstitution

Berechne \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}.

Schritt 1. Die Form ist \sqrt{a^2 + x^2} mit a = 2. Setze x = 2\tan\theta.

Schritt 2. dx = 2\sec^2\theta\,d\theta und \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{4\tan^2\theta + 4} = 2\sec\theta:

Schritt 3. \int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C.

Schritt 4. Dreieck. \tan\theta = \frac{x}{2}: Gegenkathete x, Ankathete 2, Hypotenuse \sqrt{x^2 + 4}. Also \sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+4}}{2}.

Schritt 5. Zurück umschreiben.

Das -\ln 2 ist eine Konstante und geht in C auf:

Rechenbeispiel 4: die Sekanssubstitution

Berechne \int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\,dx für x > 1.

Schritt 1. Die Form ist \sqrt{x^2 - a^2} mit a = 1. Setze x = \sec\theta mit 0 \le \theta < \frac{\pi}{2}.

Schritt 2. dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta und \sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta:

Schritt 3. Verwende \tan^2\theta = \sec^2\theta - 1:

Schritt 4. Dreieck. \sec\theta = x: Hypotenuse x, Ankathete 1, Gegenkathete \sqrt{x^2-1}. Also \tan\theta = \sqrt{x^2-1} und \theta = \operatorname{arcsec} x.

Schritt 5.

Rechenbeispiel 5: einen doppelten Winkel zurück in x umschreiben

Berechne \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Schritt 1. Die Form ist \sqrt{a^2 - x^2} mit a = 1. Setze x = \sin\theta.

Schritt 2. dx = \cos\theta\,d\theta und \sqrt{1 - x^2} = \cos\theta:

Schritt 3. Verwende \sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}:

Schritt 4. Den doppelten Winkel umschreiben. Das Dreieck liefert nur Funktionen von \theta, nicht von 2\theta, also verwende \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta:

Schritt 5. Zurück umschreiben. Das Dreieck zu \sin\theta = x hat die Gegenkathete x, die Hypotenuse 1 und die Ankathete \sqrt{1-x^2}, also \cos\theta = \sqrt{1 - x^2}. Und \theta = \arcsin x.

Tipp: Enthält dein Ergebnis in \theta ein \sin 2\theta oder \cos 2\theta, löse es mit einer Doppelwinkelformel auf, bevor du das Dreieck verwendest.

Zuerst quadratisch ergänzen

Steht unter der Wurzel ein allgemeiner quadratischer Term, ergänzt du quadratisch, um eine der drei Formen zu erreichen. Für \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}:

Setze u = x + 1 (also du = dx). Das Integral wird zu \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 4}}, und das ist genau Beispiel 3:

Wann du keine trigonometrische Substitution brauchst

Prüfe immer zuerst, ob es einfacher geht. In \int \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx ist der Faktor x (bis auf eine Konstante) die Ableitung von 9 - x^2, die Substitutionsregel mit u = 9 - x^2 liefert also in zwei Zeilen -\sqrt{9 - x^2} + C. Die trigonometrische Substitution würde funktionieren, ist aber der lange Umweg. Ebenso ist eine gebrochenrationale Funktion ohne Wurzel meist ein Fall für die Partialbruchzerlegung.

Typische Fehler bei der trigonometrischen Substitution

1. Die falsche Substitution wählen. \sqrt{x^2 - 9} braucht den Sekans, nicht den Sinus. Achte genau auf das Vorzeichenmuster.
2. Vergessen, dx zu ersetzen. dx wird zu a\cos\theta\,d\theta (oder dem passenden Ausdruck), nicht zu d\theta.
3. Das Ergebnis in \theta stehen lassen. Ein unbestimmtes Integral muss in x enden. Verwende das Dreieck.
4. Das Dreieck falsch beschriften. Schreib das definierende Verhältnis auf (zum Beispiel \sin\theta = \frac{x}{a}) und setze die Seiten danach, nicht aus dem Gedächtnis.
5. Die alten Grenzen verwenden. Rechne bei bestimmten Integralen die Grenzen in \theta-Werte um oder schreibe vor dem Auswerten zurück in x um.

Übe die drei Fälle, bis es klick macht

Die trigonometrische Substitution hat viele bewegliche Teile, aber jede Aufgabe folgt denselben fünf Schritten. Am schnellsten wirst du sicher, wenn du mehrere Aufgaben hintereinander rechnest, bis die Dreiecke automatisch kommen. Die interaktive Lektion unten gibt dir zu jeder Substitution sofort Rückmeldung und zeigt dir das Dreieck, wenn du nicht weiterkommst.