Ableitung der Umkehrfunktion: Formel und Beispiele
Die Ableitung der Umkehrfunktion: Die Ableitung von f⁻¹ an der Stelle x ist 1/f'(f⁻¹(x)). Formel, Kehrwert der Steigung, Beispiele mit arcsin und ln.
Ableitungsregeln Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Gilt für
- Eine umkehrbare (injektive), differenzierbare Funktion f an Stellen mit f'(f^{-1}(x)) \ne 0
- Punktform
- Ist f(a) = b, so gilt (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}
- Leibniz-Schreibweise
- \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}
- Geometrische Bedeutung
- Die Spiegelung an y = x vertauscht Höhen- und Breitenunterschied, also werden Steigungen zu Kehrwerten
- Liefert
- Die Ableitungen von \ln x, \sqrt{x}, \arcsin x und \arctan x
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Die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion liefert die Ableitung einer Umkehrfunktion aus der Ableitung der ursprünglichen Funktion. Hat f im Punkt (a, b) die Steigung m, dann hat f^{-1} im gespiegelten Punkt (b, a) die Steigung \frac{1}{m}. Eine Formel für die Umkehrfunktion brauchst du dafür nicht.
Die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion
Sei f umkehrbar und differenzierbar mit Umkehrfunktion f^{-1}. Ist f'(f^{-1}(x)) \ne 0, dann ist f^{-1} an der Stelle x differenzierbar und
Meist ist die Punktform praktischer. Ist f(a) = b und f'(a) \ne 0:
In Leibniz-Schreibweise, mit y = f(x) und x = f^{-1}(y), lautet sie \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}.
Warum die Regel gilt
Gehe von der Identität f(f^{-1}(x)) = x aus und leite beide Seiten mit der Kettenregel ab:
Teile durch f'(f^{-1}(x)), und du hast die Regel. Geometrisch vertauscht die Spiegelung eines Graphen an y = x die Rollen von x und y, also Höhen- und Breitenunterschied, und so wird jede Steigung zu ihrem Kehrwert.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: ohne Formel für die Umkehrfunktion. Sei f(x) = x^3 + x + 1. Diese Funktion ist streng monoton steigend und damit umkehrbar. Bestimme (f^{-1})'(3).
Schritt 1. Löse f(a) = 3: Aus a^3 + a + 1 = 3 folgt a = 1.
Schritt 2. Leite ab: f'(x) = 3x^2 + 1, also f'(1) = 4.
Schritt 3. Bilde den Kehrwert: (f^{-1})'(3) = \frac{1}{4}.
Beispiel 2: die Ableitung von \ln x. Hier ist f(x) = e^x, f'(x) = e^x und f^{-1}(x) = \ln x:
Beispiel 3: die Ableitung von \arcsin x. Hier ist f(x) = \sin x auf \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], also f'(x) = \cos x:
Im letzten Schritt wird \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} verwendet, was auf diesem Intervall positiv ist. Siehe Arkussinus.
Beispiel 4: die Ableitung von \arctan x. Mit f(x) = \tan x und f'(x) = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x:
Ableitungen, die die Regel liefert
| Funktion f | Umkehrfunktion f^{-1} | Ableitung der Umkehrfunktion |
|---|---|---|
| x^2 für x \ge 0 | \sqrt{x} | \frac{1}{2\sqrt{x}} |
| e^x | \ln x | \frac{1}{x} |
| \sin x | \arcsin x | \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} |
| \cos x | \arccos x | -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} |
| \tan x | \arctan x | \frac{1}{1 + x^2} |
Häufige Fehler
- f' an der falschen Stelle auswerten. (f^{-1})'(b) verwendet f'(a) mit f(a) = b, nicht f'(b). In Beispiel 1 würde f'(3) = 28 das falsche Ergebnis \frac{1}{28} liefern.
- f^{-1} mit \frac{1}{f} verwechseln. f^{-1} ist die Umkehrfunktion, nicht der Kehrwert. \sin^{-1}x bedeutet \arcsin x, nicht \csc x.
- Stellen mit f' = 0 übersehen. Ist f'(a) = 0, hat die Umkehrfunktion in b eine senkrechte Tangente und ist dort nicht differenzierbar. Bei f(x) = x^3 ist die Umkehrfunktion \sqrt[3]{x} an der Stelle 0 nicht differenzierbar.
Dasselbe Ergebnis erhältst du auch durch implizites Differenzieren: Schreibe x = f(y) und leite beide Seiten ab. Mehr zu \ln x und e^x findest du im Leitfaden zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.
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