Ableitung von Exponentialfunktion und Logarithmus: e^x, a^x, ln x

Die Potenzregel erledigt x^2, aber bei 2^x, wo die Variable im Exponenten steht, ist sie nutzlos. Exponentialfunktionen und Logarithmen beschreiben Wachstum, Zerfall, Zinsen und Halbwertszeiten, deshalb brauchst du ihre Ableitungen ständig. Du musst nur vier Formeln lernen, und alle folgen aus einer bemerkenswerten Eigenschaft der Zahl e.

Die vier Formeln

Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten, wie bei e^x oder 3^x. Ein Logarithmus ist ihre Umkehrfunktion, wie \ln x oder \log_2 x. Ihre Ableitungen lauten:

Dabei ist a > 0, a \neq 1, und \ln bezeichnet den natürlichen Logarithmus (zur Basis e). Beachte, dass die beiden Formeln zur Basis e der Spezialfall a = e der allgemeinen Formeln sind, weil \ln e = 1 ist.

Warum e^x seine eigene Ableitung ist

Versuche, eine beliebige Exponentialfunktion a^x mit der Definition über den Grenzwert abzuleiten:

Die Ableitung von a^x ist a^x mal eine Konstante. Diese Konstante ist einfach die Steigung von a^x bei x = 0. Für a = 2 beträgt sie etwa 0.693. Für a = 3 etwa 1.099. Irgendwo zwischen 2 und 3 gibt es eine Basis, bei der die Steigung bei 0 genau 1 ist, und diese Basis ist e \approx 2.71828.

e ist also definiert durch die Eigenschaft, die die Analysis so übersichtlich macht: Die Steigung von e^x ist an jeder Stelle gleich ihrer Höhe. Und die rätselhafte Konstante für andere Basen stellt sich als \ln a heraus, woraus \frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a folgt.

Warum die Ableitung von ln x gleich 1/x ist

Sei y = \ln x. Das bedeutet e^y = x. Leite beide Seiten nach x ab und verwende links die Kettenregel (das ist implizites Differenzieren):

Eine schöne Folgerung: \frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x} für alle x \neq 0, und deshalb gilt \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.

Für andere Basen schreibst du mit der Basiswechselformel \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} um. Da \frac{1}{\ln a} nur eine Konstante ist, ist die Ableitung \frac{1}{x \ln a}.

Rechenbeispiel 1: e mit einer inneren Funktion

Leite y = e^{x^2} ab.

Schritt 1. Außen: e^u, dessen Ableitung es selbst ist, also e^{x^2}.

Schritt 2. Innen: u = x^2, mit der Ableitung 2x.

Schritt 3. Multipliziere nach der Kettenregel:

Der Exponent bleibt genau so, wie er war. Nur der Faktor 2x kommt nach vorn.

Rechenbeispiel 2: eine Exponentialfunktion mit anderer Basis

Leite y = 5^{3x} ab.

Schritt 1. Die Ableitung von 5^u ist 5^u \ln 5, also ist der äußere Teil 5^{3x}\ln 5.

Schritt 2. Das Innere 3x hat die Ableitung 3.

Verwende hier nicht die Potenzregel. 3x \cdot 5^{3x-1} ist falsch, weil die Basis konstant und der Exponent variabel ist, also genau umgekehrt wie bei der Potenzregel.

Rechenbeispiel 3: Logarithmen von Produkten und Verkettungen

Leite y = \ln(3x) und y = \log_2(x^2 + 4) ab.

Erste Funktion. Nach der Kettenregel ist y' = \frac{1}{3x}\cdot 3 = \frac{1}{x}. Das wirkt überraschend, bis du ein Logarithmengesetz anwendest: \ln(3x) = \ln 3 + \ln x, und \ln 3 ist eine Konstante. Die Konstante verschwindet, übrig bleibt \frac{1}{x}.

Zweite Funktion. Außen steht \log_2 u, mit der Ableitung \frac{1}{u \ln 2}. Das Innere x^2 + 4 hat die Ableitung 2x:

Tipp: Zerlege einen Logarithmus vor dem Ableiten mit den Logarithmengesetzen. \ln\big(x^3\sqrt{x+1}\big) = 3\ln x + \tfrac{1}{2}\ln(x+1), und die Ableitung \frac{3}{x} + \frac{1}{2(x+1)} braucht überhaupt keine Produktregel.

Was diese Ableitungen bedeuten: Wachstum proportional zur Größe

Die Regel \frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx} sagt etwas Physikalisches aus: Die Änderungsrate ist proportional zur aktuellen Menge. Genau so verhalten sich Populationen, Zinseszins und radioaktiver Zerfall.

Angenommen, eine Bakterienkultur hat nach t Stunden P(t) = 500e^{0.04t} Zellen. Dann gilt

In jedem Moment wächst die Kultur pro Stunde um 4 % ihrer aktuellen Größe. Bei t = 0 sind das 20 Zellen pro Stunde. Wenn sich die Kultur auf 1000 Zellen verdoppelt hat (bei t = \frac{\ln 2}{0.04} \approx 17.3 Stunden), wächst sie um 40 Zellen pro Stunde. Größere Populationen wachsen schneller, und e^{kx} ist die Funktion, die das perfekt beschreibt.

Logarithmen funktionieren andersherum. Da \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} mit wachsendem x schrumpft, steigt \ln x zwar immer weiter, aber immer langsamer. Deshalb pressen logarithmische Skalen (Dezibel, die Richterskala, der pH-Wert) riesige Wertebereiche in kleine, gut lesbare Zahlen.

Logarithmisches Differenzieren

Manche Funktionen lassen sich mit den Grundregeln gar nicht ableiten, etwa x^x, wo die Variable sowohl in der Basis als auch im Exponenten steht. Andere gehen, sind aber mühsam, etwa ein langes Produkt von Potenzen. Logarithmisches Differenzieren löst beides:

1. Schreib y = f(x) und wende auf beiden Seiten \ln an.
2. Zerlege Produkte, Quotienten und Potenzen mit den Logarithmengesetzen in Summen.
3. Leite beide Seiten ab. Die linke Seite wird zu \frac{y'}{y}.
4. Multipliziere beide Seiten mit y und setze dann das ursprüngliche f(x) wieder ein.

Rechenbeispiel 4: die Ableitung von x^x

Sei y = x^x für x > 0.

Schritt 1. \ln y = \ln(x^x) = x\ln x.

Schritt 2. Ableiten. Die rechte Seite braucht die Produktregel:

Schritt 3. Mit y = x^x multiplizieren:

Probe bei x = 1: y' = 1 \cdot (0 + 1) = 1. Dieselbe Methode liefert \frac{d}{dx}x^{\sin x} = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right).

Rechenbeispiel 5: ein unübersichtliches Produkt mit Quotient

Leite y = \dfrac{x^2(x+1)^3}{\sqrt{x-1}} für x > 1 ab.

Schritt 1. Logarithmieren und zerlegen.

Schritt 2. Jeden Summanden ableiten.

Schritt 3. Mit y multiplizieren.

Mit Quotientenregel plus Produktregel plus zweimal Kettenregel würde das eine ganze Seite füllen. Der Logarithmus hat daraus drei einfache Summanden gemacht.

Typische Fehler

1. Die Potenzregel auf a^x anwenden. \frac{d}{dx}2^x \neq x\,2^{x-1}. Die Potenzregel gilt nur für eine variable Basis und einen konstanten Exponenten.
2. \ln a vergessen. \frac{d}{dx}3^x = 3^x \ln 3, nicht 3^x. Nur bei der Basis e entfällt dieser Faktor.
3. Den Exponenten verändern. \frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x e^{x^2}, nicht e^{2x} und nicht x^2 e^{x^2 - 1}.
4. \frac{d}{dx}\ln(g(x)) = \frac{1}{g'(x)} schreiben. Richtig ist \frac{g'(x)}{g(x)}: Das Innere kommt in den Nenner, seine Ableitung in den Zähler.
5. Vergessen, am Ende des logarithmischen Differenzierens mit y zu multiplizieren, sodass die Antwort als \frac{y'}{y} stehen bleibt.

Kurzübersicht

Mit Übung zur Gewohnheit machen

Die Formeln sind kurz, aber in die Fallen (Potenzregel bei 2^x, ein fehlendes \ln a, ein veränderter Exponent) tappt man unter Prüfungsdruck leicht. Die interaktive Lektion unten trainiert genau diese Punkte, mit sofortiger Rückmeldung auf jede Antwort, damit das richtige Muster vor dem Prüfungstag automatisch sitzt.