Serie geométrica: fórmula de la suma, convergencia y ejemplos
Fórmula de la suma de una serie geométrica, por qué solo converge si |r| < 1, cómo son las sumas parciales y cómo pasar decimales periódicos a fracción.
Por el equipo de PracticeCalculus Publicado 7 min de lectura
En esta página
- ¿Qué es una serie geométrica?
- La fórmula de la suma de una serie geométrica
- ¿Cuándo converge una serie geométrica?
- Cómo las sumas parciales se acercan al límite
- Ejemplo resuelto 1: una suma que empieza en n = 1
- Ejemplo resuelto 2: una razón negativa
- Ejemplo resuelto 3: una serie divergente
- Ejemplo resuelto: una suma geométrica finita
- Decimales periódicos como series geométricas
- Un ejemplo de la vida real: la pelota que rebota
- De las series geométricas a las series de potencias
- Errores comunes con las series geométricas
- Referencia rápida
- Practica hasta que la fórmula sea automática
Suma 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots para siempre. Infinitos términos positivos y, sin embargo, el total nunca pasa de 2. Las series geométricas son el único tipo de suma infinita que puedes sumar exactamente con una sola fórmula, y son la base de todo lo demás en el estudio de las series, desde los criterios de convergencia hasta las series de potencias.
¿Qué es una serie geométrica?
Una serie geométrica es una suma en la que cada término es el anterior multiplicado por un número fijo r, llamado razón común:
Aquí a es el primer término. Para hallar r, divide cualquier término entre el anterior. En 1 + \frac12 + \frac14 + \cdots, el primer término es a = 1 y la razón es r = \frac12.
La fórmula de la suma de una serie geométrica
La n-ésima suma parcial suma los primeros n términos:
La suma infinita es el límite de S_n cuando n \to \infty. Si |r| < 1, entonces r^n \to 0 y las sumas parciales se estabilizan:
Una forma práctica de recordarla: suma = primer término entre uno menos la razón.
De dónde sale la fórmula
Escribe S_n, multiplícala por r y resta:
Todos los términos intermedios se cancelan y queda S_n - rS_n = a - ar^n. Factoriza y divide:
Vale la pena recordar ese truco de la resta. Funciona igual con sumas geométricas finitas e infinitas.
¿Cuándo converge una serie geométrica?
Todo depende del tamaño de r:
| Razón | Qué hace r^n | La serie |
|---|---|---|
| \lvert r\rvert < 1 | se reduce a 0 | converge a \frac{a}{1-r} |
| r = 1 | se queda en 1 | diverge (a + a + a + \cdots) |
| r = -1 | alterna entre 1 y -1 | diverge (las sumas parciales oscilan) |
| \lvert r\rvert > 1 | crece sin límite | diverge |
(Suponemos siempre a \ne 0.) Así que una serie geométrica converge si y solo si |r| < 1. Esta regla tan limpia es la razón por la que las series geométricas se usan como referencia en los criterios de comparación y del cociente.
Cómo las sumas parciales se acercan al límite
Para 1 + \frac12 + \frac14 + \cdots, la fórmula de la suma parcial da S_n = \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 2 - 2\left(\frac12\right)^n. Los primeros valores son 1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375. Cada uno recorre la mitad de la distancia que falta hasta 2.
Cuando r es negativa, las sumas parciales alternan alrededor del límite en lugar de subir hacia él. En 1 - \frac12 + \frac14 - \frac18 + \cdots (con r = -\frac12), las sumas parciales son 1, 0.5, 0.75, 0.625, 0.6875, \dots, y oscilan por encima y por debajo de la suma \frac{1}{1 + 1/2} = \frac23.
Ejemplo resuelto 1: una suma que empieza en n = 1
Halla \sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac25\right)^n.
Paso 1. Halla el primer término. Sustituye n = 1: a = 3\cdot\frac25 = \frac65.
Paso 2. Halla la razón. Cada término se multiplica por \frac25, así que r = \frac25.
Paso 3. Comprueba la convergencia. |r| = \frac25 < 1, así que la serie converge.
Paso 4. Aplica la fórmula.
Ejemplo resuelto 2: una razón negativa
Halla \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{3^{n+1}}.
Paso 1. Reescríbela en forma estándar. \frac{(-2)^n}{3^{n+1}} = \frac13\cdot\frac{(-2)^n}{3^n} = \frac13\left(-\frac23\right)^n.
Paso 2. Lee a y r. En n = 0 el término es \frac13, así que a = \frac13 y r = -\frac23.
Paso 3. Comprueba. |r| = \frac23 < 1. Converge.
Paso 4. Suma.
Ejemplo resuelto 3: una serie divergente
¿Converge \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{2^n}?
Es geométrica con a = 1 y r = \frac32. Como |r| > 1, los términos crecen y la serie diverge. Sustituir en \frac{a}{1-r} daría \frac{1}{1 - 3/2} = -2, una respuesta sin sentido. Comprueba siempre que |r| < 1 antes de usar la fórmula.
Ejemplo resuelto: una suma geométrica finita
La fórmula de la suma parcial funciona para cualquier suma geométrica finita, incluso cuando |r| > 1. Halla 2 + 6 + 18 + \cdots + 2\cdot 3^9.
Paso 1. Identifica a, r y n. El primer término es a = 2, la razón es r = 3 y los exponentes van de 0 a 9, así que hay n = 10 términos.
Paso 2. Aplica S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}.
Contar bien los términos es la principal trampa aquí: de 3^0 a 3^9 hay diez términos, no nueve.
Decimales periódicos como series geométricas
Todo decimal periódico es en secreto una serie geométrica, y por eso todo decimal periódico es una fracción.
Ejemplo resuelto 4: 0,272727...
Aquí a = \frac{27}{100} y r = \frac{1}{100}, así que
Ejemplo resuelto 5: 0,999... es igual a 1
No es una aproximación. El decimal infinito y 1 son el mismo número.
Ejemplo resuelto 6: un decimal que se repite más adelante
Escribe 1.2\overline{3} = 1.2333\ldots como fracción.
Separa la parte no periódica: 1.2333\ldots = 1.2 + 0.0333\ldots. La parte periódica es geométrica con a = \frac{3}{100} y r = \frac{1}{10}:
Así que 1.2\overline{3} = \frac{6}{5} + \frac{1}{30} = \frac{36}{30} + \frac{1}{30} = \frac{37}{30}.
Un ejemplo de la vida real: la pelota que rebota
Se deja caer una pelota desde 10 metros, y cada rebote alcanza \frac34 de la altura anterior. ¿Qué distancia recorre en total?
Paso 1. La primera caída es de 10 metros.
Paso 2. Los rebotes. La pelota sube a 7.5 m, luego a 5.625 m, y así sucesivamente, una serie geométrica con a = 7.5 y r = \frac34. Su suma es \frac{7.5}{1 - 3/4} = 30 metros.
Paso 3. Cuenta cada rebote dos veces, una al subir y otra al bajar: 2 \cdot 30 = 60 metros.
Paso 4. Total: 10 + 60 = 70 metros, aunque la pelota rebote infinitas veces.
De las series geométricas a las series de potencias
Sustituye la razón por una variable y la fórmula de la suma se convierte en una afirmación sobre funciones:
Esta única identidad es la semilla de las series de potencias. Sustituye x por -x y obtienes \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots. Sustituye -x^2 y obtienes \frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots, que al integrar término a término da la serie de \arctan x. La condición |x| < 1 sale directamente de |r| < 1, y es el primer ejemplo de intervalo de convergencia.
Errores comunes con las series geométricas
- Usar un primer término equivocado. Cuando la suma empieza en n = 1 o más, a es el primer término que realmente sumas, no el coeficiente que va delante.
- Aplicar la fórmula cuando |r| \ge 1. La fórmula solo funciona con series convergentes. Una "suma" negativa de términos positivos es una señal de alarma.
- Leer mal la razón. En \frac{2^n}{3^{n+1}}, la razón es \frac23, no \frac{2}{3^{n+1}}. Reescribe primero los términos como a\cdot r^n.
- Olvidar el signo en 1 - r. Con r = -\frac23, el denominador es 1 + \frac23.
- Confundir la sucesión con la serie. Los términos \left(\frac12\right)^n tienden a 0. Su suma tiende a 2.
Referencia rápida
| Cantidad | Fórmula |
|---|---|
| Término general | ar^n (empezando en n = 0) |
| Razón común | r = \frac{\text{término}_{n+1}}{\text{término}_n} |
| n-ésima suma parcial | S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} |
| Suma infinita, \lvert r\rvert < 1 | \frac{a}{1-r} |
| Diverge cuando | \lvert r\rvert \ge 1 |
Practica hasta que la fórmula sea automática
Las series geométricas aparecen una y otra vez: en el criterio del cociente, en los argumentos de comparación y como punto de partida de las series de potencias. Ganar rapidez para hallar a y r te rinde durante el resto del curso. La lección interactiva de abajo te da una corrección inmediata en cada paso, para que un primer término equivocado o un error de signo se detecte al momento.
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