Derivación implícita: método paso a paso y ejemplos

No todas las curvas vienen dadas como y = f(x). La circunferencia x^2 + y^2 = 25 ni siquiera es una función, y una ecuación como x^3 + y^3 = 6xy no se puede despejar para y de ninguna forma razonable. Y, sin embargo, ambas curvas tienen rectas tangentes perfectamente definidas. La derivación implícita halla sus pendientes sin despejar nunca y.

¿Qué es la derivación implícita?

Una ecuación como y = x^2 + 1 define y de forma explícita: y está sola en un lado. Una ecuación como x^2 + y^2 = 25 define y de forma implícita: la relación entre x e y está ahí, pero enredada.

Derivar implícitamente significa derivar ambos lados de una ecuación así con respecto a x, tratando y como una función desconocida de x. El resultado es una ecuación de la que puedes despejar \frac{dy}{dx}.

La única idea nueva es cómo derivar un término que contiene y. Como y es función de x, se aplica la regla de la cadena:

Así que \frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}, \frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y\,\frac{dy}{dx} y \frac{d}{dx}(e^y) = e^y\frac{dy}{dx}. Compáralo con \frac{d}{dx}(x^2) = 2x, donde no aparece ningún factor extra porque la derivada de x con respecto a x es 1.

Cómo hacer una derivación implícita, paso a paso

1. Deriva ambos lados con respecto a x, término a término.
2. Añade \frac{dy}{dx} cada vez que derives algo que contenga y. Usa la regla del producto en términos como xy o x^2y.
3. Agrupa todos los términos con \frac{dy}{dx} en un lado y todo lo demás en el otro.
4. Saca factor común \frac{dy}{dx}.
5. Divide para aislar \frac{dy}{dx}.

Para hallar la pendiente en un punto concreto, sustituye x e y al final.

Ejemplo resuelto 1: la pendiente de una circunferencia

Halla \frac{dy}{dx} para x^2 + y^2 = 25, y la recta tangente en (3, 4).

Paso 1. Deriva ambos lados.

Paso 2. Añade \frac{dy}{dx} al término con y. La constante 25 tiene derivada 0.

Paso 3. Despeja. Resta 2x y divide entre 2y:

Paso 4. Evalúa en (3, 4). Primero comprueba que el punto está en la circunferencia: 9 + 16 = 25. La pendiente es -\frac{3}{4}.

Paso 5. Recta tangente. Con la forma punto-pendiente:

La respuesta supera una comprobación geométrica. El radio hasta (3, 4) tiene pendiente \frac{4}{3}, y la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio, así que su pendiente debería ser el inverso opuesto, -\frac{3}{4}. Y lo es.

Fíjate en que -\frac{x}{y} funciona en las dos mitades de la circunferencia a la vez. En (3, -4) da +\frac{3}{4}, lo correcto para la mitad inferior. Despejar primero y te habría obligado a tratar por separado y = \sqrt{25-x^2} e y = -\sqrt{25-x^2}.

¿La derivación implícita da lo mismo que despejar y?

Sí, siempre que puedas despejar y. Toma la mitad superior de la circunferencia, y = \sqrt{25 - x^2} = (25 - x^2)^{1/2}. La regla de la cadena da

Pero \sqrt{25 - x^2} es simplemente y, así que esto es -\frac{x}{y}, exactamente lo que dio la derivación implícita. Los dos métodos siempre coinciden. La derivación implícita es simplemente más rápida, cubre todas las ramas de la curva con una sola fórmula y sigue funcionando cuando despejar y es imposible.

Entonces, ¿cuándo elegirla? Una buena regla: si aislar y requiere una raíz cuadrada con \pm, una raíz cúbica de algo complicado, o simplemente no es posible, deriva implícitamente. Si la ecuación ya está en la forma y = \ldots, derívala directamente.

Ejemplo resuelto 2: un término con un producto

Halla \frac{dy}{dx} para x^2 + xy + y^2 = 7, y la pendiente en (1, 2).

Paso 1. Deriva término a término. El término central xy es un producto, así que necesita la regla del producto: \frac{d}{dx}(xy) = 1\cdot y + x\frac{dy}{dx}.

Paso 2. Agrupa los términos con \frac{dy}{dx}.

Paso 3. Divide.

Paso 4. Evalúa. El punto está en la curva, ya que 1 + 2 + 4 = 7. La pendiente es -\frac{2 + 2}{1 + 4} = -\frac{4}{5}.

Ejemplo resuelto 3: una curva que no puedes despejar para y

El folium de Descartes es x^3 + y^3 = 6xy. Halla la pendiente en (3, 3).

Paso 1. Deriva. El lado derecho es 6 por el producto xy:

Paso 2. Agrupa. Pasa los términos con \frac{dy}{dx} a la izquierda y el resto a la derecha:

Paso 3. Saca factor común y divide, simplificando el 3 común:

Paso 4. Evalúa en (3, 3). Comprobación: 27 + 27 = 54 = 6\cdot 9. La pendiente es \frac{6 - 9}{9 - 6} = -1.

Ejemplo resuelto 4: la derivada de arcsen x

La derivación implícita es la forma de obtener las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Sea y = \arcsin x, de modo que \sin y = x con -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}.

Paso 1. Deriva. \cos y\,\frac{dy}{dx} = 1, así que \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}.

Paso 2. Reescríbelo en términos de x. Como \cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2, y \cos y \ge 0 en ese intervalo, \cos y = \sqrt{1 - x^2}.

El mismo truco, aplicado a e^y = x, demuestra que la derivada de \ln x es \frac{1}{x}, como se ve en derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

Hallar la segunda derivada de forma implícita

Para la circunferencia obtuvimos y' = -\frac{x}{y}. Para obtener y'', vuelve a derivar con la regla del cociente, recordando que y sigue siendo función de x:

Paso 1. Regla del cociente.

Paso 2. Sustituye y' = -\frac{x}{y}.

Paso 3. Elimina la fracción pequeña multiplicando numerador y denominador por y:

Paso 4. Usa la ecuación original. Como x^2 + y^2 = 25:

Esto tiene sentido. En la mitad superior (y > 0), y'' es negativa, así que el arco es cóncavo hacia abajo. En la mitad inferior (y < 0), es positiva y el arco es cóncavo hacia arriba. En (3, 4), y'' = -\frac{25}{64}.

Consejo: el movimiento del paso 4, sustituir una expresión por una constante de la ecuación original, aparece en casi todas las segundas derivadas implícitas. Búscalo siempre antes de dejar de simplificar.

Errores comunes en la derivación implícita

1. Olvidar el \frac{dy}{dx}. Escribir \frac{d}{dx}(y^2) = 2y. Todo término con y lleva ese factor.
2. Saltarse la regla del producto. \frac{d}{dx}(xy) es y + x\frac{dy}{dx}, no \frac{dy}{dx} ni 1\cdot\frac{dy}{dx}.
3. Añadir \frac{dy}{dx} a los términos con x. \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2, sin ningún factor extra.
4. No derivar el lado derecho. La constante 25 se convierte en 0, pero 6xy también hay que derivarlo.
5. Sustituir solo x. Las pendientes implícitas suelen depender de las dos coordenadas. Usa el punto completo.
6. Olvidar sustituir y' al hallar la segunda derivada, dejando y' dentro de la respuesta de y''.

Referencia rápida

Conviértela en rutina con la práctica

La derivación implícita es una habilidad mecánica con un único hábito nuevo: marcar cada y con un \frac{dy}{dx}. Hazlo de forma constante y el álgebra se resuelve sola. La lección interactiva de abajo te da curvas para derivar con corrección inmediata, y es también la mejor preparación para las razones de cambio relacionadas, que usan exactamente esta técnica con el tiempo como variable.