Reglas del producto y del cociente: fórmulas, trucos y ejemplos

Sabes derivar x^3 y sabes derivar \sin x. Pero ¿cuál es la derivada de x^3 \sin x, o de \frac{x^2+1}{x-1}? Es tentador derivar cada pieza y multiplicar o dividir los resultados, y eso da la respuesta incorrecta siempre. La regla del producto y la regla del cociente son las herramientas correctas, y una vez que dominas los patrones toman segundos.

¿Qué son las reglas del producto y del cociente?

La regla del producto es la fórmula para la derivada de dos funciones multiplicadas. La regla del cociente es la fórmula para la derivada de una función dividida entre otra. Ambas son atajos que salen de la definición de derivada por límites, así que nunca tienes que volver a los límites para un producto o una fracción.

Escribe u y v para dos funciones derivables de x, y u' y v' para sus derivadas.

Regla del producto:

Regla del cociente:

Observa que ninguna de las dos reglas es "multiplicar las derivadas" ni "dividir las derivadas". Por ejemplo, \frac{d}{dx}(x \cdot x) = \frac{d}{dx}x^2 = 2x, pero multiplicar las derivadas daría 1 \cdot 1 = 1. Las reglas existen precisamente porque la suposición ingenua falla.

Trucos para recordarlas

Para la regla del producto, di: "la derivada de la primera por la segunda, más la primera por la derivada de la segunda". Como a la suma no le importa el orden, también puedes escribirla como uv' + u'v. De cualquier forma, cada término tiene exactamente una derivada.

Para la regla del cociente, la frase clásica es:

Consejo: "La derivada del de arriba por el de abajo, menos el de arriba por la derivada del de abajo, entre el de abajo al cuadrado." Aquí "el de arriba" es el numerador u y "el de abajo" es el denominador v. Así que: v \cdot u' menos u \cdot v', todo entre v^2.

El orden en la regla del cociente importa por el signo menos. Empieza siempre con la derivada del numerador. Si intercambias los dos términos, tu respuesta tendrá el signo equivocado.

Por qué funciona la regla del producto

Imagina un rectángulo de lados u y v, así que su área es uv. Ahora mueve un poco x. El lado u crece una pequeña cantidad \Delta u y el lado v crece \Delta v. La nueva área suma tres piezas: una franja de tamaño \Delta u \cdot v, una franja de tamaño u \cdot \Delta v y una diminuta esquina \Delta u \cdot \Delta v.

Divide entre \Delta x y haz que \Delta x \to 0. Las dos franjas se convierten en u'v y uv'. La esquina se reduce a cero mucho más rápido que las franjas, así que desaparece. Lo que queda es exactamente u'v + uv'. El área cambia porque cambian los dos lados, y cada lado aporta su propia franja.

Ejemplo resuelto 1: un polinomio por una función trigonométrica

Deriva y = x^3 \sin x.

Paso 1. Nombra los factores. u = x^3 y v = \sin x.

Paso 2. Deriva cada factor. u' = 3x^2 y v' = \cos x.

Paso 3. Sustituye en u'v + uv'.

Paso 4. Factoriza si te ayuda. Sacar x^2 da y' = x^2(3\sin x + x\cos x). Las dos formas son correctas.

Ejemplo resuelto 2: comprobar la regla con un producto de polinomios

Deriva y = (2x+1)(x^2-3).

Paso 1. u = 2x + 1, así que u' = 2. Y v = x^2 - 3, así que v' = 2x.

Paso 2. Aplica la regla del producto.

Paso 3. Simplifica.

Compruébalo desarrollando primero. (2x+1)(x^2-3) = 2x^3 + x^2 - 6x - 3, cuya derivada es 6x^2 + 2x - 6. La misma respuesta. Con dos polinomios, desarrollar y usar la regla de la potencia suele ser igual de rápido. La regla del producto demuestra su valor cuando los factores no se pueden multiplicar, como en x^3 \sin x o x^2 e^x.

Ejemplo resuelto 3: dónde un producto tiene tangente horizontal

Encuentra dónde y = x^2 e^x tiene una recta tangente horizontal.

Paso 1. u = x^2, u' = 2x, v = e^x, v' = e^x.

Paso 2. Aplica la regla del producto.

Paso 3. Factoriza. Los dos términos comparten x e^x:

Paso 4. Iguala a cero. Como e^x nunca es cero, y' = 0 solo cuando x = 0 o x = -2. Los puntos son (0, 0) y (-2, 4e^{-2}) \approx (-2, 0.54).

Factorizar la derivada es el hábito que da frutos aquí. Una derivada factorizada te muestra sus ceros de un vistazo.

Ejemplo resuelto 4: la regla del cociente con polinomios

Deriva y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}.

Paso 1. Nombra el numerador y el denominador. Arriba: u = x^2 + 1, así que u' = 2x. Abajo: v = x - 1, así que v' = 1.

Paso 2. El de abajo por la derivada del de arriba, menos el de arriba por la derivada del de abajo.

Paso 3. Desarrolla solo el numerador.

Paso 4. Escribe la respuesta. Deja el denominador al cuadrado; desarrollarlo casi nunca ayuda.

En x = 2 la función vale \frac{5}{1} = 5 y la pendiente es \frac{4 - 4 - 1}{1} = -1, así que la recta tangente ahí es y = -x + 7.

Ejemplo resuelto 5: deducir la derivada de tan x

Deriva y = \tan x escribiéndola como \dfrac{\sin x}{\cos x}.

Paso 1. Arriba: u = \sin x, u' = \cos x. Abajo: v = \cos x, v' = -\sin x.

Paso 2. Aplica la regla del cociente.

Paso 3. Usa \sin^2 x + \cos^2 x = 1.

Así se obtienen las derivadas de \tan x, \cot x, \sec x y \csc x. Consulta derivadas de funciones trigonométricas para verlas todas.

Cuándo conviene simplificar primero

La regla del cociente es confiable pero engorrosa. Antes de recurrir a ella, pregúntate si un poco de álgebra la hace innecesaria.

Una constante abajo. y = \dfrac{x^3 - 5x}{4} es simplemente \tfrac{1}{4}(x^3 - 5x), así que y' = \tfrac{1}{4}(3x^2 - 5).

Una constante arriba. y = \dfrac{5}{x^2} es 5x^{-2}, así que y' = -10x^{-3} = -\dfrac{10}{x^3}. La regla del cociente da lo mismo, pero con cuatro líneas más.

Una sola potencia de x abajo. Divide término a término:

De forma parecida, \dfrac{x^2 + \sqrt{x}}{x} = x + x^{-1/2}, con derivada 1 - \tfrac{1}{2}x^{-3/2}.

Un producto que puedes desarrollar. Como en el ejemplo 2, multiplicar dos polinomios cortos y usar la regla de la potencia evita por completo la regla del producto.

Consejo: si el denominador es un solo término, divide. Si es una suma como x - 1 o x^2 + 4, usa la regla del cociente.

Productos de tres funciones

La regla del producto se extiende de forma natural. Con tres factores, deriva uno a la vez y suma:

Por ejemplo, con y = x e^x \sin x:

Cada término tiene exactamente un factor derivado.

Errores comunes con las reglas del producto y del cociente

1. Multiplicar las derivadas. \frac{d}{dx}(x^2 \sin x) \neq 2x \cos x. La respuesta correcta es 2x\sin x + x^2 \cos x.
2. Invertir el numerador de la regla del cociente. Escribir uv' - u'v cambia el signo de toda la respuesta. Empieza con la derivada del numerador.
3. Olvidar elevar al cuadrado el denominador. Abajo va v^2, no v.
4. Quitar paréntesis. En (x-1)(2x) - (x^2+1)(1), el signo menos afecta a todo x^2 + 1. Perder los paréntesis convierte -1 en +1.
5. Usar la regla del cociente con un denominador constante. Funciona, pero es lento y abre la puerta a errores. Saca la constante.
6. Desarrollar el denominador. (x-1)^2 es más fácil de leer, y más fácil de usar para ver dónde la derivada no está definida, si se deja factorizado.

Referencia rápida

Cuando aparece una función interna, como \sin(3x) dentro de un producto, combina estas reglas con la regla de la cadena.

Practica hasta que el patrón sea automático

Las reglas del producto y del cociente son mecánicas, y eso es una buena noticia: unas cuantas decenas de ejercicios bastan para que se vuelvan naturales. Resuelve la lección interactiva de abajo. Cada respuesta se revisa al instante, y si intercambias los términos de un cociente u olvidas un factor, verás exactamente dónde falló antes de seguir.