Sumas de Riemann: izquierda, derecha y punto medio, con ejemplos

Calcular el área de un rectángulo es fácil. Calcular el área bajo una curva como y = x^2 no lo es, porque el borde superior se curva. Las sumas de Riemann lo resuelven llenando la región con rectángulos delgados y sumándolos, y son la idea sobre la que se construye toda la integral definida.

¿Qué es una suma de Riemann?

Una suma de Riemann es una estimación del área bajo y = f(x) en un intervalo [a, b] hecha con rectángulos:

1. Divide [a, b] en n partes iguales, cada una de ancho

2. En cada parte, elige un punto de muestra x_i^* y usa f(x_i^*) como altura del rectángulo.
3. Suma las áreas, altura por ancho:

La única decisión que tomas es dónde tomar la altura en cada parte. Esa decisión da las tres reglas estándar.

Sumas de Riemann por la izquierda, por la derecha y del punto medio

Con x_0 = a, x_1 = a + \Delta x, x_2 = a + 2\Delta x, y así sucesivamente hasta x_n = b:

Observa que la suma por la izquierda usa todos los puntos excepto el último, y la suma por la derecha usa todos los puntos excepto el primero.

Ejemplo resuelto 1: área bajo y = x² de 0 a 2

Estima \int_0^2 x^2\,dx con n = 4 usando sumas por la izquierda, por la derecha y del punto medio.

Paso 1. Ancho. \Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5. Los puntos de división son 0, 0.5, 1, 1.5, 2.

Paso 2. Suma por la izquierda. Alturas en 0, 0.5, 1, 1.5:

Paso 3. Suma por la derecha. Alturas en 0.5, 1, 1.5, 2:

Paso 4. Suma del punto medio. Puntos medios 0.25, 0.75, 1.25, 1.75:

El área exacta (que confirmaremos más abajo) es \frac{8}{3} \approx 2.667. La suma por la izquierda se queda muy corta, la suma por la derecha se pasa mucho, y la suma del punto medio falla solo por 0.04.

¿Sobreestimación o subestimación?

En una función creciente como x^2 en [0, 2], el extremo izquierdo de cada parte es el punto más bajo, así que cada rectángulo de la izquierda queda debajo de la curva: las sumas por la izquierda subestiman. El extremo derecho es el punto más alto, así que las sumas por la derecha sobreestiman. Para una función decreciente, intercambia las dos.

La regla del punto medio depende, en cambio, de la concavidad. En una curva cóncava hacia arriba como x^2, la suma del punto medio subestima (solo un poco), y en una curva cóncava hacia abajo sobreestima.

Promediar las sumas por la izquierda y por la derecha da la regla del trapecio: \frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75. En una curva cóncava hacia arriba la regla del trapecio sobreestima, así que el valor real queda entre las estimaciones del punto medio y del trapecio: 2.625 < \frac{8}{3} < 2.75.

Ejemplo resuelto 2: una función decreciente

Estima \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx con n = 4 usando las tres reglas.

Paso 1. Ancho. \Delta x = \frac{3 - 1}{4} = 0.5. Puntos de división: 1, 1.5, 2, 2.5, 3.

Paso 2. Suma por la izquierda. Alturas f(1) = 1, f(1.5) \approx 0.6667, f(2) = 0.5, f(2.5) = 0.4:

Paso 3. Suma por la derecha. Alturas en 1.5, 2, 2.5, 3:

Paso 4. Suma del punto medio. Los puntos medios 1.25, 1.75, 2.25, 2.75 dan las alturas 0.8, 0.5714, 0.4444, 0.3636:

El valor exacto es \ln 3 \approx 1.0986. Esta vez la función es decreciente, así que la suma por la izquierda se pasa y la suma por la derecha se queda corta: lo contrario del ejemplo 1. La curva es cóncava hacia arriba, así que la suma del punto medio vuelve a quedar un poco baja.

Ejemplo resuelto 3: sumas de Riemann a partir de una tabla

La velocidad de un auto se registra cada segundo:

Estima la distancia recorrida de t = 0 a t = 4.

La distancia es el área bajo la curva de velocidad, y \Delta t = 1.

Suma por la izquierda: 1 \cdot (0 + 4 + 7 + 9) = 20 m.

Suma por la derecha: 1 \cdot (4 + 7 + 9 + 10) = 30 m.

En la tabla la velocidad solo aumenta, así que (suponiendo que también aumenta entre lecturas) la distancia real está entre 20 y 30 metros. Aquí no puedes usar una suma del punto medio con n = 4, porque la tabla no tiene lecturas en t = 0.5, 1.5, \ldots. Con n = 2 sí podrías: los puntos medios t = 1 y t = 3 dan 2 \cdot (4 + 9) = 26 m.

Cómo escribir sumas de Riemann en notación sigma

Para una suma por la derecha en [a, b] con n partes, los puntos de muestra son x_i = a + i\,\Delta x, así que

Para las sumas por la izquierda reemplaza i por i - 1; para los puntos medios, por i - \frac{1}{2}.

Ejemplo resuelto 4: el área exacta como un límite

Encuentra \int_0^2 x^2\,dx como el límite de las sumas por la derecha.

Paso 1. Planteamiento. \Delta x = \frac{2}{n} y x_i = \frac{2i}{n}, así que f(x_i) = \frac{4i^2}{n^2}.

Paso 2. Escribe la suma.

Paso 3. Usa la fórmula de la suma de cuadrados \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}:

Paso 4. Calcula el límite. Cuando n \to \infty, los dos términos \frac{1}{n} tienden a 0:

Así que el área exacta es \frac{8}{3}. Con n = 4 la fórmula da \frac{4}{3}(1.25)(2.25) = 3.75, lo que coincide con el ejemplo resuelto 1.

De las sumas de Riemann a la integral definida

El cálculo de arriba es exactamente cómo se define la integral definida:

La notación incluso imita la suma: \int es una "S" alargada de suma, f(x) es la altura y dx es el ancho infinitamente delgado. Donde f es negativa, los rectángulos tienen altura negativa, así que la integral mide el área con signo: el área sobre el eje cuenta como positiva y el área bajo el eje como negativa.

Calcular un límite de sumas cada vez sería agotador. El teorema fundamental del cálculo muestra que puedes saltártelo: \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}, usando antiderivadas. Aun así, las sumas de Riemann son la forma de aproximar integrales a partir de datos o de funciones sin una antiderivada sencilla.

Errores comunes con las sumas de Riemann

1. Usar n + 1 alturas. Con n = 4 hay 5 puntos de división pero solo 4 rectángulos. Una suma por la izquierda deja fuera el último punto; una por la derecha, el primero.
2. Olvidar multiplicar por \Delta x. Sumar las alturas da 7.5 en el ejemplo 1, no el área 3.75.
3. Puntos medios equivocados. El punto medio de [1, 1.5] es 1.25. Calcula f(1.25), no el promedio de f(1) y f(1.5) (eso es la regla del trapecio).
4. Anchos desiguales en una tabla. Si los datos no están igualmente espaciados, cada rectángulo necesita su propio ancho. No uses un único \Delta x.
5. Confundir exceso y defecto. Que la función sea creciente o decreciente decide las sumas por la izquierda y por la derecha; la concavidad decide las reglas del punto medio y del trapecio.

Practica con rectángulos

Las sumas de Riemann premian una rutina constante: encuentra \Delta x, anota los puntos de muestra, evalúa, suma y multiplica. La lección interactiva de abajo te permite construir sumas por la izquierda, por la derecha y del punto medio con retroalimentación al instante, para que veas exactamente qué altura o qué ancho salió mal y lo corrijas en el siguiente intento.