Somas de Riemann: à esquerda, à direita e ponto médio, com exemplos

Achar a área de um retângulo é fácil. Achar a área sob uma curva como y = x^2 não é, porque a borda de cima se curva. As somas de Riemann resolvem isso preenchendo a região com retângulos finos e somando-os, e são a ideia sobre a qual toda a integral definida é construída.

O que é uma soma de Riemann?

Uma soma de Riemann é uma estimativa, feita com retângulos, da área sob y = f(x) num intervalo [a, b]:

1. Divida [a, b] em n pedaços iguais, cada um com largura

2. Em cada pedaço, escolha um ponto amostral x_i^* e use f(x_i^*) como altura do retângulo.
3. Some as áreas, altura vezes largura:

A única escolha que você faz é onde, em cada pedaço, tomar a altura. Essa escolha dá as três regras padrão.

Somas de Riemann à esquerda, à direita e no ponto médio

Com x_0 = a, x_1 = a + \Delta x, x_2 = a + 2\Delta x e assim por diante até x_n = b:

Repare que a soma à esquerda usa todos os pontos menos o último, e a soma à direita usa todos os pontos menos o primeiro.

Exemplo resolvido 1: área sob y = x² de 0 a 2

Estime \int_0^2 x^2\,dx com n = 4 usando as somas à esquerda, à direita e no ponto médio.

Passo 1. Largura. \Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5. Os pontos de divisão são 0, 0.5, 1, 1.5, 2.

Passo 2. Soma à esquerda. Alturas em 0, 0.5, 1, 1.5:

Passo 3. Soma à direita. Alturas em 0.5, 1, 1.5, 2:

Passo 4. Soma no ponto médio. Pontos médios 0.25, 0.75, 1.25, 1.75:

A área exata (que vamos confirmar mais abaixo) é \frac{8}{3} \approx 2.667. A soma à esquerda fica muito abaixo, a soma à direita muito acima, e a soma no ponto médio erra por apenas 0.04.

Por excesso ou por falta?

Numa função crescente como x^2 em [0, 2], a extremidade esquerda de cada pedaço é o ponto mais baixo, então todo retângulo à esquerda fica abaixo da curva: as somas à esquerda subestimam. A extremidade direita é o ponto mais alto, então as somas à direita superestimam. Numa função decrescente, troque as duas.

A regra do ponto médio depende da concavidade. Numa curva com concavidade para cima como x^2, a soma no ponto médio subestima (só um pouco), e numa curva com concavidade para baixo ela superestima.

A média das somas à esquerda e à direita dá a regra dos trapézios: \frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75. Numa curva com concavidade para cima, a regra dos trapézios superestima, então o valor verdadeiro fica entre as estimativas do ponto médio e dos trapézios: 2.625 < \frac{8}{3} < 2.75.

Exemplo resolvido 2: uma função decrescente

Estime \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx com n = 4 usando as três regras.

Passo 1. Largura. \Delta x = \frac{3 - 1}{4} = 0.5. Pontos de divisão: 1, 1.5, 2, 2.5, 3.

Passo 2. Soma à esquerda. Alturas f(1) = 1, f(1.5) \approx 0.6667, f(2) = 0.5, f(2.5) = 0.4:

Passo 3. Soma à direita. Alturas em 1.5, 2, 2.5, 3:

Passo 4. Soma no ponto médio. Os pontos médios 1.25, 1.75, 2.25, 2.75 dão as alturas 0.8, 0.5714, 0.4444, 0.3636:

O valor exato é \ln 3 \approx 1.0986. Desta vez a função é decrescente, então a soma à esquerda fica grande demais e a soma à direita pequena demais: o contrário do exemplo 1. A curva tem concavidade para cima, então a soma no ponto médio fica de novo um pouco abaixo.

Exemplo resolvido 3: somas de Riemann a partir de uma tabela

A velocidade de um carro é registrada a cada segundo:

Estime a distância percorrida de t = 0 a t = 4.

A distância é a área sob a curva da velocidade, e \Delta t = 1.

Soma à esquerda: 1 \cdot (0 + 4 + 7 + 9) = 20 m.

Soma à direita: 1 \cdot (4 + 7 + 9 + 10) = 30 m.

A velocidade só aumenta na tabela, então (supondo que ela também aumente entre as leituras) a distância verdadeira fica entre 20 e 30 metros. Aqui não dá para usar uma soma no ponto médio com n = 4, porque a tabela não tem leituras em t = 0.5, 1.5, \ldots. Com n = 2 daria: os pontos médios t = 1 e t = 3 dão 2 \cdot (4 + 9) = 26 m.

Escrevendo somas de Riemann em notação sigma

Para uma soma à direita em [a, b] com n pedaços, os pontos amostrais são x_i = a + i\,\Delta x, então

Para somas à esquerda, troque i por i - 1; para pontos médios, troque por i - \frac{1}{2}.

Exemplo resolvido 4: a área exata como limite

Encontre \int_0^2 x^2\,dx como limite de somas à direita.

Passo 1. Monte. \Delta x = \frac{2}{n} e x_i = \frac{2i}{n}, então f(x_i) = \frac{4i^2}{n^2}.

Passo 2. Escreva a soma.

Passo 3. Use a fórmula da soma dos quadrados \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}:

Passo 4. Calcule o limite. Quando n \to \infty, os dois termos \frac{1}{n} tendem a 0:

Então a área exata é \frac{8}{3}. Com n = 4, a fórmula dá \frac{4}{3}(1.25)(2.25) = 3.75, o mesmo resultado do exemplo resolvido 1.

Das somas de Riemann à integral definida

A conta acima é exatamente como a integral definida é definida:

A notação até imita a soma: \int é um "S" esticado de soma, f(x) é a altura e dx é a largura infinitamente fina. Onde f é negativa, os retângulos têm altura negativa, então a integral mede a área com sinal: a área acima do eixo conta como positiva e a área abaixo, como negativa.

Calcular um limite de somas toda vez seria penoso. O Teorema Fundamental do Cálculo mostra que dá para pular isso: \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}, usando antiderivadas. As somas de Riemann continuam sendo a forma de aproximar integrais a partir de dados ou de funções sem antiderivada simples.

Erros comuns com somas de Riemann

1. Usar n + 1 alturas. Com n = 4 há 5 pontos de divisão, mas só 4 retângulos. A soma à esquerda descarta o último ponto; a soma à direita descarta o primeiro.
2. Esquecer de multiplicar por \Delta x. Somar as alturas dá 7.5 no exemplo 1, não a área 3.75.
3. Pontos médios errados. O ponto médio de [1, 1.5] é 1.25. Calcule f(1.25), não a média de f(1) e f(1.5) (isso é a regra dos trapézios).
4. Larguras desiguais numa tabela. Se os dados não forem igualmente espaçados, cada retângulo precisa de sua própria largura. Não use um único \Delta x.
5. Confundir excesso com falta. Crescente ou decrescente decide as somas à esquerda e à direita; a concavidade decide as regras do ponto médio e dos trapézios.

Pratique com retângulos

As somas de Riemann recompensam uma rotina constante: encontrar \Delta x, listar os pontos amostrais, calcular, somar, multiplicar. A lição interativa abaixo permite montar somas à esquerda, à direita e no ponto médio com feedback imediato, para você ver exatamente qual altura ou largura saiu errada e corrigir na próxima tentativa.