Análisis vectorial ESCOM IPN (ISC 2020): temario, guía y práctica

Análisis vectorial es una de las dos materias de cálculo del primer semestre de Ingeniería en Sistemas Computacionales (plan 2020) en ESCOM y UPIIZ del IPN. Su propósito oficial es resolver problemas geométricos y físicos estudiando vectores, funciones vectoriales en el espacio y los teoremas integrales de Gauss, Green y Stokes. Es, en esencia, un curso de cálculo vectorial que se lleva en paralelo a Cálculo. Esta guía relaciona cada tema del programa con lecciones de práctica.

Qué cubre Análisis vectorial

El programa de estudios tiene tres unidades temáticas:

1. El espacio euclidiano \mathbb{R}^3: espacios vectoriales \mathbb{R}^2 y \mathbb{R}^3, dependencia lineal, producto escalar, ángulo entre vectores y cosenos directores, ortogonalidad y proyecciones, producto vectorial y triples productos.
2. Cálculo diferencial vectorial: funciones vectoriales de variable real como curvas, ecuaciones paramétricas, límite y continuidad, derivada de funciones vectoriales, longitud de arco, campos escalares, derivadas parciales, diferencial total, regla de la cadena, operador nabla, gradiente y derivada direccional, campos vectoriales, divergencia y rotacional.
3. Cálculo integral vectorial: integrales de línea sobre campos vectoriales y campos conservativos, integrales dobles y triples con cambio de variables, integrales de superficie y de volumen, y los teoremas de Green, Stokes y Gauss.

Corresponde a un Cálculo 3 estándar: vectores, derivadas parciales, integrales múltiples y cálculo vectorial.

Mapa de temas de Análisis vectorial (ISC 2020)

Análisis vectorial y Cálculo en primer semestre

Ejemplos de problemas al nivel de Análisis vectorial

1. Ángulo entre vectores. Para u = (1, 0, 1) y v = (0, 1, 1): u \cdot v = 1 y |u| = |v| = \sqrt{2}, así que \cos\theta = \frac{1}{2} y \theta = 60°.

2. Divergencia y rotacional. Para F = (x^2, xy, z):

3. Teorema de Gauss. Para F = (x, y, z) y la esfera de radio 2, \nabla \cdot F = 3, así que el flujo hacia afuera es 3 \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3 = 32\pi.

Cómo te puede ir bien en Análisis vectorial

• Domina el producto punto y el producto cruz en las primeras semanas: aparecen en todo el curso.
• Coordina con Cálculo. Si una derivada parcial te cuesta, casi siempre es porque la derivada de una variable aún no es automática; practica reglas de derivación.
• Ten el formulario a la vista con las fórmulas de gradiente, divergencia y rotacional.
• Practica cada teorema integral calculando ambos lados de la igualdad en ejercicios de práctica.