Ejercicios de integrales dobles resueltos con respuestas

Estos ejercicios de integrales dobles empiezan con rectángulos y pasan a regiones generales, el cambio del orden de integración, las coordenadas polares, el volumen y el valor medio. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero y después las soluciones completas.

El planteamiento para una región entre dos curvas:

Calcula primero la integral interior, tratando x como una constante. Para saber más sobre regiones y orden, lee la guía de integrales dobles.

Ejercicios

Rectángulos

1. \displaystyle\int_0^2\!\int_0^1(x + y)\,dy\,dx
2. \displaystyle\iint_R 6xy^2\,dA, R = [0, 2]\times[0, 1]
3. \displaystyle\int_0^{\pi}\!\int_0^1 y\sin x\,dy\,dx

Regiones generales

4. \displaystyle\int_0^1\!\int_0^x xy\,dy\,dx
5. \displaystyle\iint_R x\,dA, donde R es la región entre y = x^2 e y = x
6. Halla el área entre y = x^2 e y = 4 con una integral doble.

Cambia el orden

7. \displaystyle\int_0^1\!\int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy
8. \displaystyle\int_0^1\!\int_x^1\sin(y^2)\,dy\,dx

Coordenadas polares

9. \displaystyle\iint_D(x^2 + y^2)\,dA, con D el disco unidad
10. \displaystyle\iint_D e^{-(x^2 + y^2)}\,dA, con D el disco x^2 + y^2 \le 4
11. Halla el volumen bajo z = 4 - x^2 - y^2 y sobre el plano xy.

Valor medio

12. Halla el valor medio de f(x, y) = xy en el cuadrado [0, 2]\times[0, 2].

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Interior: \int_0^1(x + y)\,dy = x + \frac{1}{2}. Exterior:

2. En un rectángulo, un producto g(x)h(y) se separa en dos integrales simples:

3. Separa de nuevo: \int_0^{\pi}\sin x\,dx\cdot\int_0^1 y\,dy = 2\cdot\frac{1}{2} = 1.

4. Interior: \int_0^x xy\,dy = x\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}. Exterior: \int_0^1\frac{x^3}{2}\,dx = \frac{1}{8}.

5. Las curvas se cortan en x = 0 y x = 1, con y = x arriba:

6. Con f = 1, la integral doble es el área:

7. e^{x^2} no tiene antiderivada elemental, así que cambia el orden. La región es 0 \le y \le x \le 1, un triángulo. En el otro orden, x va de 0 a 1 e y de 0 a x:

8. La región es 0 \le x \le y \le 1. Cambia el orden para que y quede fuera:

9. En polares, x^2 + y^2 = r^2 y dA = r\,dr\,d\theta:

10. Con u = r^2:

11. La superficie corta al plano donde r = 2. En polares:

12. \iint xy\,dA = \int_0^2 x\,dx\cdot\int_0^2 y\,dy = 2\cdot 2 = 4. El área del cuadrado es 4, así que el valor medio es \frac{4}{4} = 1.

Errores comunes en estos ejercicios

• Límites exteriores con variables. Después de las dos integrales, la respuesta debe ser un número. Si sobra una x, los límites están en el orden equivocado.
• Cambiar el orden sin volver a dibujar. En el ejercicio 7, intercambiar los signos de integral y mantener los límites es incorrecto. Dibuja la región y lee los nuevos límites en ella.
• Olvidar la r en polares. El ejercicio 9 sin la r extra da \frac{2\pi}{3} en lugar de \frac{\pi}{2}.
• Tratar la variable exterior como si cambiara. En la integral interior del ejercicio 4, x es una constante, así que \int_0^x xy\,dy = \frac{x^3}{2}.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la lección de integrales iteradas, la lección de cambio de orden, la lección de regiones generales y la lección de integrales dobles en polares.