Ejercicios de cálculo con respuestas
Hojas de ejercicios para cada tema importante del cálculo. Intenta cada problema y luego revisa la respuesta y la solución paso a paso. Cuando quieras más, practica con números nuevos cada vez.
Límites y continuidad
Ejercicios de cálculo de límites, límites al infinito, regla de L'Hôpital y continuidad.
Ejercicios de cálculo de límites
\lim_{x\to a} f(x) = f(a) \text{ cuando } f \text{ es continua en } a
12 ejercicios de límites con respuestas y soluciones paso a paso: sustitución directa, factorizar 0/0, conjugado, límites trigonométricos y límites laterales.
Ejercicios de límites al infinito
\lim_{x\to\infty}\frac{a x^n + \cdots}{b x^n + \cdots} = \frac{a}{b}
12 ejercicios de límites al infinito con respuestas y soluciones completas: funciones racionales, raíces cuadradas, exponenciales y asíntotas horizontales.
Ejercicios de la regla de L'Hôpital
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
12 ejercicios de la regla de L'Hôpital con respuestas y soluciones completas, con las formas 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞ y exponenciales como 1^∞ y 0^0.
Ejercicios de continuidad
\lim_{x\to a} f(x) = f(a)
12 ejercicios de continuidad con respuestas y soluciones completas: funciones por partes, hallar k, tipos de discontinuidad y Teorema del Valor Intermedio.
Derivadas
Ejercicios de reglas de derivación, desde la regla de la potencia hasta la derivación implícita.
Ejercicios de la derivada por definición
f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}
12 ejercicios de la derivada por definición con respuestas y soluciones paso a paso, desde funciones lineales hasta 1/x, √x y rectas tangentes.
Ejercicios de la regla de la potencia
\frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1}
12 ejercicios de la regla de la potencia con respuestas y soluciones paso a paso: polinomios, exponentes negativos y fraccionarios, raíces y rectas tangentes.
Ejercicios de la regla del producto y del cociente
(fg)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
12 ejercicios de la regla del producto y la regla del cociente con respuestas y soluciones paso a paso, con un producto triple y un ejercicio con tabla.
Ejercicios de derivadas de funciones trigonométricas
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x
12 ejercicios de derivadas trigonométricas con respuestas y soluciones completas: sen, cos, tan, sec, csc y cot, con reglas del producto, cociente y cadena.
Ejercicios de la regla de la cadena
\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)
12 ejercicios de la regla de la cadena con respuestas y soluciones paso a paso, desde (3x+1)⁵ hasta funciones anidadas como sin²(4x) y e^(cos x).
Ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
\frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}
12 ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas, con respuestas y soluciones completas: e^x, a^x, ln x, propiedades de logaritmos y x^x.
Ejercicios de derivación implícita
\frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\,\frac{dy}{dx}
12 ejercicios de derivación implícita con respuestas y soluciones completas: circunferencias, productos, trigonometría, exponenciales, rectas tangentes e y''.
Ejercicios de derivadas de funciones trigonométricas inversas
\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}
12 ejercicios de derivadas trigonométricas inversas con respuestas y soluciones: arcsen, arccos, arctan y arcsec con la regla de la cadena y del producto.
Aplicaciones de la derivada
Ejercicios de tasas relacionadas, optimización, trazado de curvas y aproximación lineal.
Ejercicios de razones de cambio relacionadas
x^2 + y^2 = z^2 \;\Rightarrow\; 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z\frac{dz}{dt}
10 problemas de razones de cambio relacionadas con respuestas y soluciones completas: globos, escaleras, conos, sombras, coches y ángulos, bien planteados.
Ejercicios de optimización
f'(x) = 0 \;\text{ o no existe} \;\Rightarrow\; \text{evalúa los puntos críticos y los extremos}
10 problemas de optimización con derivadas, con respuestas y soluciones completas: vallas, cajas, latas, puntos más cercanos, ingresos y la ruta más rápida.
Ejercicios de representación gráfica de funciones
f'(x) > 0 \Rightarrow \text{creciente}, \qquad f''(x) > 0 \Rightarrow \text{cóncava hacia arriba}
12 ejercicios de representación gráfica con respuestas y soluciones: puntos críticos, crecimiento y decrecimiento, extremos, concavidad y asíntotas.
Ejercicios de aproximación lineal
L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)
12 ejercicios de aproximación lineal con respuestas y soluciones completas: linealización, estimar raíces y logaritmos, diferenciales y error.
Ejercicios del Teorema del Valor Medio
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
12 ejercicios del Teorema del Valor Medio con respuestas y soluciones completas: hallar c, teorema de Rolle, comprobar hipótesis, cotas y contar raíces.
Integrales
Ejercicios de antiderivadas, sumas de Riemann, integrales definidas y el teorema fundamental.
Ejercicios de antiderivadas
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
12 ejercicios de antiderivadas con respuestas y soluciones paso a paso: regla de la potencia, trigonometría, exponenciales y problemas de valor inicial.
Ejercicios de sumas de Riemann
\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \quad \Delta x = \frac{b-a}{n}
10 ejercicios de sumas de Riemann con respuestas: sumas por la izquierda, por la derecha, del punto medio y de trapecios, tablas, cotas y límites de sumas.
Ejercicios de integrales definidas
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
12 ejercicios de integrales definidas con respuestas y soluciones completas: polinomios, trigonometría, simetría, valor absoluto, geometría y propiedades.
Ejercicios del Teorema Fundamental del Cálculo
\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)
12 ejercicios del Teorema Fundamental del Cálculo con respuestas: derivadas con límites variables, regla de Barrow y funciones de acumulación.
Técnicas de integración
Ejercicios de sustitución, integración por partes, integrales trigonométricas y fracciones parciales.
Ejercicios de integración por sustitución
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x)
12 ejercicios de integración por sustitución con respuestas y soluciones paso a paso, de (x²+1)⁵ a ln x / x, despejando x e integrales definidas.
Ejercicios de integración por partes
\int u\,dv = uv - \int v\,du
12 ejercicios de integración por partes con respuestas y soluciones completas: x eˣ, ln x, arctan x, partes repetidas y el ciclo de e^x sin x.
Ejercicios de integrales trigonométricas
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
12 ejercicios de integrales trigonométricas con respuestas: potencias de seno y coseno, tangente y secante, ángulo mitad y producto a suma.
Ejercicios de sustitución trigonométrica
\sqrt{a^2 - x^2}:\ x = a\sin\theta \quad \sqrt{a^2 + x^2}:\ x = a\tan\theta \quad \sqrt{x^2 - a^2}:\ x = a\sec\theta
12 ejercicios de sustitución trigonométrica con respuestas y soluciones completas para √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) y completar el cuadrado.
Ejercicios de fracciones parciales
\frac{px + q}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}
12 ejercicios de descomposición en fracciones parciales con respuestas: factores distintos y repetidos, cuadráticos irreducibles y división previa.
Aplicaciones de la integral
Ejercicios de áreas, volúmenes, integrales impropias y ecuaciones diferenciales.
Ejercicios de área entre curvas
A = \int_a^b \big(\text{superior}(x) - \text{inferior}(x)\big)\,dx
10 ejercicios de área entre curvas con respuestas y soluciones completas: puntos de corte, curva superior menos inferior, curvas que se cruzan e integrar en y.
Ejercicios de volúmenes de revolución
V = \pi\int_a^b \big(R(x)^2 - r(x)^2\big)\,dx \qquad V = 2\pi\int_a^b x\,h(x)\,dx
11 ejercicios de volúmenes de revolución con respuestas y soluciones completas por los métodos de discos, arandelas y capas, también con otros ejes.
Ejercicios de integrales impropias
\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^{b} f(x)\,dx
12 ejercicios de integrales impropias con respuestas: límites infinitos, asíntotas verticales, convergencia o divergencia y criterio de comparación.
Ejercicios de ecuaciones diferenciales
\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \;\Rightarrow\; \int\frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx
12 ejercicios de ecuaciones diferenciales con respuestas: variables separables, crecimiento exponencial, enfriamiento, logística y método de Euler.
Sucesiones y series
Ejercicios de criterios de convergencia, series de potencias, series de Taylor, curvas paramétricas y polares.
Ejercicios de criterios de convergencia de series
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|: \quad L < 1 \text{ converge},\ L > 1 \text{ diverge}
12 ejercicios de convergencia de series con respuestas: término n-ésimo, series p, geométricas, comparación, integral, cociente, raíz y series alternadas.
Ejercicios de series de potencias
\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n, \quad |x| < 1
12 ejercicios de series de potencias con respuestas: radio e intervalo de convergencia, estudio de los extremos y series construidas a partir de 1/(1 − x).
Ejercicios de series de Taylor
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
12 ejercicios de series de Taylor y Maclaurin con respuestas: construir series, polinomios de Taylor, estimaciones con cota de error, límites y sumas.
Ejercicios de paramétricas y polares
\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta
12 ejercicios de paramétricas y polares con respuestas: dy/dx, rectas tangentes, longitud de arco, cambio de coordenadas, pendientes y áreas en polares.
Cálculo multivariable
Ejercicios de derivadas parciales, integrales múltiples y optimización en varias variables.
Ejercicios de derivadas parciales
f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \nabla f = \langle f_x, f_y\rangle, \quad D_{\mathbf{u}}f = \nabla f\cdot\mathbf{u}
12 ejercicios de derivadas parciales con respuestas: parciales de primer y segundo orden, gradiente, derivada direccional, plano tangente y puntos críticos.
Ejercicios de integrales dobles
\iint_R f(x, y)\,dA = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\,dx
12 ejercicios de integrales dobles con respuestas: integrales iteradas, regiones generales, cambio de orden, coordenadas polares, volumen y valor medio.
Ejercicios de multiplicadores de Lagrange
\nabla f = \lambda\,\nabla g, \qquad g(x, y) = k
12 ejercicios de multiplicadores de Lagrange con respuestas: máximos y mínimos sobre rectas y circunferencias, puntos más cercanos, tres variables y lambda.
Aprende practicando
¿Conoces la regla? Ahora úsala.
Cada página de referencia enlaza a una lección interactiva en la que resuelves problemas reales con corrección al instante y soluciones paso a paso.
Empieza a aprender gratis