La integral de cada función común

Integral de una constante \int k\,dx = kx + C La integral de una constante k es kx + C, y la integral de 1 es x + C. Descubre por qué, la interpretación como área, integrales definidas y errores comunes. Integral de x \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C La integral de x es x²/2 + C. Por qué, con la regla de la potencia inversa y un triángulo, integrales definidas, la forma ax + b y errores comunes. Integral de x² \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C La integral de x² es x³/3 + C. Regla de la potencia inversa, demostración con sumas de Riemann, integrales definidas, la forma (ax + b)² y errores típicos. Integral de √x \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C La integral de √x es (2/3)x^(3/2) + C. Escribe la raíz como potencia, comprueba derivando y mira ejemplos con √(ax + b), 1/√x e integrales definidas. Integral de 1/x \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C La integral de 1/x es ln|x| + C. Descubre por qué falla la regla de la potencia, de dónde sale el valor absoluto y cómo resolver 1/(ax + b) y f'/f. Integral de 1/x² \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C La integral de 1/x² es -1/x + C. Escríbela como x^(-2), comprueba derivando y mira integrales impropias de 1 a infinito y la clásica trampa de -1 a 1. Integral de |x| \int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C La integral de |x| es x|x|/2 + C. Aprende a dividir en el cero, por qué no es |x²/2| y cómo calcular integrales definidas como |x - 1| entre 0 y 4. Integral de x/(x² + 1) \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C La integral de x/(x² + 1) es ½ ln(x² + 1) + C. El cambio de variable paso a paso, por qué no hace falta valor absoluto e integrales parecidas como 1/(x² + 1). Integral de 1/(x² - 1) \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C La integral de 1/(x² - 1) es ½ ln|(x - 1)/(x + 1)| + C. Los pasos de fracciones parciales, la fórmula general de 1/(x² - a²) e integrales definidas resueltas.

Integral de sen x \int \sin x\,dx = -\cos x + C La integral de sen x es -cos x + C. De dónde sale el signo menos, el área de un arco, sen(ax + b) por sustitución e integrales definidas resueltas. Integral de cos x \int \cos x\,dx = \sin x + C La integral de cos x es sen x + C. Por qué no lleva signo menos, el área de un arco, cos(ax + b) por sustitución y ejemplos resueltos de integrales definidas. Integral de tan x \int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C La integral de tan x es ln|sec x| + C, o -ln|cos x| + C. El cambio de variable u = cos x, por qué las dos formas coinciden e integrales definidas resueltas. Integral de sec x \int \sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C La integral de sec x es ln|sec x + tan x| + C. El truco de multiplicar por uno paso a paso, las formas equivalentes, la comprobación derivando y ejemplos. Integral de csc x \int \csc x\,dx = -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C La integral de csc x es -ln|csc x + cot x| + C, también ln|csc x - cot x| o ln|tan(x/2)|. Deducción, por qué las formas coinciden y ejemplos. Integral de cot x \int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C La integral de cot x es ln|sen x| + C. El cambio u = sen x, su relación con tan x, además de cot(ax), cot² x y ejemplos de integrales definidas. Integral de sec² x \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C La integral de sec² x es tan x + C. Por qué sale de la derivada de tan x, la forma sec²(ax), integrales relacionadas como tan² x y csc² x, y ejemplos. Integral de sen² x \int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C La integral de sen² x es x/2 - sen(2x)/4 + C. La fórmula de reducción de potencias paso a paso, la comprobación derivando, sen²(ax) e integrales definidas. Integral de cos² x \int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C La integral de cos² x es x/2 + sen(2x)/4 + C. La fórmula de reducción de potencias, la comprobación, cos²(ax) y el área del círculo. Integral de tan² x \int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C La integral de tan² x es tan x - x + C. Cómo la identidad tan² x = sec² x - 1 hace todo el trabajo, además de tan²(ax), tan³ x e integrales definidas. Integral de sec³ x \int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C La integral de sec³ x es ½(sec x tan x + ln|sec x + tan x|) + C. El bucle de integración por partes paso a paso, la comprobación y la longitud de arco. Integral de sec x tan x \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C La integral de sec x tan x es sec x + C. Por qué invierte la derivada de sec x, cómo reconocerla disfrazada de sen x/cos² x y ejemplos con sustitución. Integral de sen 2x \int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C La integral de sen 2x es -cos(2x)/2 + C. El cambio de variable, por qué sen² x + C y -cos² x + C también son correctas, e integrales definidas resueltas.

Integral de 1/(1+x²) \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C La integral de 1/(1+x²) es arctan x + C. Descubre por qué con un cambio a tangente, la versión 1/(a²+x²), una gráfica y ejemplos resueltos. Integral de 1/√(1−x²) \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C La integral de 1/√(1−x²) es arcsen x + C. El cambio a seno, la versión 1/√(a²−x²), una gráfica, integrales definidas y ejemplos resueltos. Integral de √(1−x²) \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C La integral de √(1−x²) es ½(x√(1−x²) + arcsen x) + C. Aprende la sustitución trigonométrica, la relación con el área del círculo y ejemplos resueltos. Integral de arctan x \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C La integral de arctan x es x arctan x − ½ ln(1+x²) + C. Los pasos de la integración por partes, la comprobación, integrales definidas y ejemplos. Integral de arcsen x \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C La integral de arcsen x es x arcsen x + √(1−x²) + C. Aprende los pasos de la integración por partes, la versión con arccos, una gráfica y ejemplos resueltos.

Integral de eˣ \int e^x\,dx = e^x + C La integral de eˣ es eˣ + C. Descubre por qué eˣ es su propia antiderivada, una gráfica del área, integrales definidas e impropias y ejemplos resueltos. Integral de e²ˣ \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C La integral de e^(2x) es ½e^(2x) + C, y en general ∫e^(kx) dx = (1/k)e^(kx) + C. El cambio de variable, una gráfica y ejemplos resueltos. Integral de e⁻ˣ \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C La integral de e^(−x) es −e^(−x) + C. El cambio de variable, por qué el área de 0 a infinito es 1, una gráfica y ejemplos como x e^(−x). Integral de e^(x²) \int e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erf}(x) + C e^(x²) y e^(−x²) no tienen antiderivada elemental. Conoce las funciones erf y erfi, la solución en serie de potencias y por qué ∫e^(−x²) en ℝ vale √π. Integral de 2ˣ \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C La integral de 2ˣ es 2ˣ/ln 2 + C, y ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C. La deducción a partir de e^(x ln a), una gráfica, integrales definidas y ejemplos. Integral de ln x \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C La integral de ln x es x ln x − x + C. Los pasos de la integración por partes, la comprobación derivando, una gráfica y ejemplos como ln(2x) y (ln x)². Integral de 1/(x ln x) \int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln\lvert\ln x\rvert + C La integral de 1/(x ln x) es ln|ln x| + C. El cambio u = ln x, por qué su integral impropia diverge, una gráfica y ejemplos resueltos.

Integral de x eˣ \int x e^x\,dx = (x - 1)e^x + C La integral de x eˣ es (x − 1)eˣ + C. Los pasos de la integración por partes, por qué u = x es la elección correcta, una gráfica y ejemplos como x e^(2x). Integral de x ln x \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C La integral de x ln x es (x²/2) ln x − x²/4 + C. Los pasos por partes con u = ln x, la comprobación, una gráfica y la fórmula de xⁿ ln x. Integral de x sen x \int x\sin x\,dx = \sin x - x\cos x + C La integral de x sen x es sen x − x cos x + C. Los pasos de la integración por partes, la comprobación derivando, una gráfica y ejemplos como x² sen x. Integral de x cos x \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C La integral de x cos x es x sen x + cos x + C. Integración por partes paso a paso, la comprobación, una gráfica, integrales definidas y ejemplos como x² cos x. Integral de eˣ sen x \int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}\left(\sin x - \cos x\right) + C La integral de eˣ sen x es ½eˣ(sen x − cos x) + C. El truco de integrar dos veces y despejar, la comprobación, una gráfica y la fórmula de e^(ax) sen(bx). Integral de x² eˣ \int x^2 e^x\,dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C La integral de x² eˣ es (x² − 2x + 2)eˣ + C. Integración por partes dos veces, el método tabular, la comprobación, una gráfica y el patrón de xⁿ eˣ.