Ejercicios resueltos de derivadas parciales con soluciones

Estos ejercicios de derivadas parciales empiezan con parciales de primer orden y siguen con parciales de segundo orden, gradientes, derivadas direccionales, planos tangentes y puntos críticos. Intenta cada uno primero. Primero van las respuestas y después las soluciones completas.

La idea detrás de todos los ejercicios:

Para ver las ideas con dibujos, lee la guía de derivadas parciales y la guía del gradiente.

Ejercicios

Parciales de primer orden

1. f(x, y) = x^3y^2 + 4xy. Halla f_x y f_y.
2. f(x, y) = e^{xy}. Halla f_x y f_y.
3. f(x, y) = \sin(x^2y). Halla f_x y f_y.
4. f(x, y) = \ln(x^2 + y^2). Halla f_x.
5. f(x, y) = \dfrac{x}{y}. Halla f_x y f_y.
6. f(x, y, z) = xyz + z^2. Halla f_z.

Parciales de segundo orden y valores

7. f(x, y) = x^2y^3. Halla f_{xx}, f_{yy} y f_{xy}.
8. f(x, y) = x^2 + 3xy - y^2. Halla f_x(1, 2) y f_y(1, 2).

Gradientes y planos

9. Halla \nabla f(2, 1) para f(x, y) = x^2y.
10. Halla la derivada direccional de f(x, y) = x^2y en (2, 1) en la dirección de \langle 3, 4\rangle.
11. Halla el plano tangente a z = x^2 + y^2 en (1, 2, 5).
12. Halla y clasifica el punto crítico de f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y.

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Para f_x, y^2 y 4y son constantes: f_x = 3x^2y^2 + 4y. Para f_y, x^3 y 4x son constantes: f_y = 2x^3y + 4x.

2. Regla de la cadena con función interior xy. Su derivada respecto de x es y y respecto de y es x:

3. Regla de la cadena con función interior x^2y:

4. La derivada de \ln u es \frac{u'}{u}, y la derivada respecto de x de x^2 + y^2 es 2x:

5. Respecto de x, \frac{x}{y} es x por la constante \frac{1}{y}. Respecto de y, es x\cdot y^{-1}:

6. Trata x e y como constantes: f_z = xy + 2z.

7. Primero, f_x = 2xy^3 y f_y = 3x^2y^2. Después:

Comprobación: f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2) = 6xy^2. Coinciden.

8. f_x = 2x + 3y, así que f_x(1, 2) = 2 + 6 = 8. f_y = 3x - 2y, así que f_y(1, 2) = 3 - 4 = -1.

9. f_x = 2xy y f_y = x^2. En (2, 1): \nabla f = \langle 4, 4\rangle.

10. El módulo de \langle 3, 4\rangle es 5, así que el vector unitario es \left\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle:

11. En (1, 2), f_x = 2x = 2 y f_y = 2y = 4. El plano tangente es z = f(a, b) + f_x(x - a) + f_y(y - b):

12. Iguala f_x = 2x - 4 = 0 y f_y = 2y + 6 = 0: (2, -3). El criterio de la segunda derivada da D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 2\cdot 2 - 0 = 4 > 0 con f_{xx} > 0, así que es un mínimo local. El valor es 4 + 9 - 8 - 18 = -13.

Errores comunes en estos ejercicios

• Derivar la variable que es constante. En el ejercicio 1, f_x de 4xy es 4y, no 4y + 4x.
• Olvidar la regla de la cadena. En el ejercicio 3, el factor 2xy viene de la función interior x^2y.
• Usar una dirección que no es un vector unitario. En el ejercicio 10, normaliza primero \langle 3, 4\rangle.
• Confundir el orden en f_{xy}. f_{xy} significa derivar primero respecto de x y luego respecto de y. Para funciones regulares ambos órdenes coinciden, lo que sirve de comprobación.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la lección de derivadas parciales, la lección de parciales de segundo orden, la lección de planos tangentes y la lección del gradiente. Para optimizar con una restricción, sigue con los ejercicios de multiplicadores de Lagrange.