La derivada de cada función común

Derivada de x \frac{d}{dx}\,x = 1 La derivada de x es 1. Demostración con la definición de límite y la regla de la potencia, más las derivadas de 5x, ax + b y de x respecto a otras variables. Derivada de x² \frac{d}{dx}\,x^2 = 2x La derivada de x² es 2x. Demostración con la definición de límite, la regla de la cadena para u², una gráfica, rectas tangentes y ejemplos como (3x + 1)². Derivada de √x \frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} La derivada de √x es 1/(2√x). Demostración con la regla de la potencia y con límites, regla de la cadena para √u, por qué falla en x = 0 y ejemplos. Derivada de ∛x \frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} La derivada de la raíz cúbica de x es 1/(3∛(x²)). Demostración con la regla de la potencia y con límites, la tangente vertical en 0 y la regla de la cadena. Derivada de 1/x \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} La derivada de 1/x es -1/x². Demostración por la definición de límite, regla de la potencia con x⁻¹, regla de la cadena para 1/u y ejemplos como 1/(2x + 5). Derivada de 1/x² \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3} La derivada de 1/x² es -2/x³. Demostración con la regla de la potencia y del cociente, regla de la cadena para 1/u², gráfica y ejemplos como 1/(3x - 2)². Derivada de |x| \frac{d}{dx}\,\lvert x\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} La derivada de |x| es x/|x|: 1 para x > 0, -1 para x < 0 y no existe en 0. Demostración, el pico en 0 y la regla de la cadena para |u|. Derivada de una constante \frac{d}{dx}\,c = 0 La derivada de una constante es 0. Demostración con la definición de límite y casos engañosos como π², e³, ln 5 o constantes que multiplican.

Derivada de sen x \frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x La derivada de sen x es cos x. Demostración por límites, la versión con la regla de la cadena para sen(u), una gráfica y ejemplos como sen(3x) y x sen x. Derivada de cos x \frac{d}{dx}\,\cos x = -\sin x La derivada de cos x es -sen x. Demostración por límites, una demostración rápida a partir de sen x, regla de la cadena para cos(u) y ejemplos como cos(5x). Derivada de tan x \frac{d}{dx}\,\tan x = \sec^2 x La derivada de tan x es sec²x. Demostración con la regla del cociente, la forma 1 + tan²x, regla de la cadena para tan(u) y ejemplos como tan(4x) y tan²x. Derivada de sec x \frac{d}{dx}\,\sec x = \sec x\tan x La derivada de sec x es sec x tan x. Demostración a partir de 1/cos x, regla de la cadena para sec(u), gráfica y ejemplos resueltos como sec(2x) y x sec x. Derivada de csc x \frac{d}{dx}\,\csc x = -\csc x\cot x La derivada de csc x es -csc x cot x. Demostración a partir de 1/sen x, regla de la cadena para csc(u), gráfica y ejemplos resueltos como csc(3x). Derivada de cot x \frac{d}{dx}\,\cot x = -\csc^2 x La derivada de cot x es -csc²x. Demostración con la regla del cociente, la forma -(1 + cot²x), regla de la cadena para cot(u) y ejemplos como cot(2x). Derivada de sec²x \frac{d}{dx}\,\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x La derivada de sec²x es 2sec²x tan x. Dos demostraciones, una con la regla de la cadena y otra con 1 + tan²x, y ejemplos como sec²(3x). Derivada de sen²x \frac{d}{dx}\,\sin^2 x = 2\sin x\cos x = \sin 2x La derivada de sen²x es 2 sen x cos x, que es igual a sen 2x. Demostración con la regla de la cadena, comprobación con el ángulo doble y ejemplos resueltos. Derivada de cos²x \frac{d}{dx}\,\cos^2 x = -2\sin x\cos x = -\sin 2x La derivada de cos²x es -2 sen x cos x, que es igual a -sen 2x. Demostración con la regla de la cadena, comprobación con identidades y ejemplos como cos²(4x). Derivada de sen 2x \frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x La derivada de sen 2x es 2cos 2x. Demostración con la regla de la cadena, comprobación con 2 sen x cos x, la regla general para sen(ax) y ejemplos resueltos. Derivada de sen(x²) \frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2) La derivada de sen(x²) es 2x cos(x²). La regla de la cadena paso a paso, en qué se diferencia de sen²x, la segunda derivada y ejemplos resueltos.

Derivada de arcsen x \frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} La derivada de arcsen x es 1/√(1 − x²). Demostración a partir de sen y = x, la forma con la regla de la cadena para arcsen(u), gráfica y ejemplos resueltos. Derivada de arccos x \frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} La derivada de arccos x es −1/√(1 − x²). Demostración, por qué es la opuesta de la derivada de arcsen, ejemplos con la regla de la cadena y gráfica. Derivada de arctan x \frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} La derivada de arctan x es 1/(1 + x²). Demostración a partir de tan y = x, ejemplos con la regla de la cadena como arctan(2x) y arctan(x²), y gráfica. Derivada de arcsec x \frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} La derivada de arcsec x es 1/(|x|√(x² − 1)). De dónde sale el valor absoluto, demostración con arccos(1/x) y ejemplos con la regla de la cadena. Derivada de arccot x \frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2} La derivada de arccot x es −1/(1 + x²). Demostración a partir de cot y = x, relación con arctan, ejemplos con la regla de la cadena y gráfica.

Derivada de ln x \frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x} La derivada de ln x es 1/x. Demostración a partir de eʸ = x, la regla de la cadena para ln(u), una gráfica y ejemplos resueltos como ln(2x) y ln(x²+1). Derivada de e^x \frac{d}{dx}\,e^x = e^x La derivada de eˣ es eˣ. Descubre por qué con una demostración por límites, la regla de la cadena para e^u, una gráfica y ejemplos como e^(3x) y x²eˣ. Derivada de e^(2x) \frac{d}{dx}\,e^{2x} = 2e^{2x} La derivada de e^(2x) es 2e^(2x). Pasos con la regla de la cadena, una segunda demostración con (eˣ)², derivadas sucesivas, gráfica y ejemplos resueltos. Derivada de e^(−x) \frac{d}{dx}\,e^{-x} = -e^{-x} La derivada de e^(−x) es −e^(−x). Pasos con la regla de la cadena, comprobación con la regla del cociente, derivadas sucesivas, gráfica y ejemplos como xe^(−x). Derivada de e^(x²) \frac{d}{dx}\,e^{x^2} = 2x\,e^{x^2} La derivada de e^(x²) es 2x·e^(x²). Pasos con la regla de la cadena, la segunda derivada, en qué se diferencia de (eˣ)² y ejemplos como e^(−x²). Derivada de 2^x \frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2 La derivada de 2ˣ es 2ˣ ln 2, y la de aˣ es aˣ ln a. Demostración reescribiendo aˣ como e^(x ln a), ejemplos con la regla de la cadena y gráfica. Derivada de log x \frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10} La derivada de log₁₀ x es 1/(x ln 10), y la de log_b x es 1/(x ln b). Demostración con el cambio de base, ejemplos con la regla de la cadena y gráfica. Derivada de ln(2x) \frac{d}{dx}\,\ln(2x) = \frac{1}{x} La derivada de ln(2x) es 1/x, igual que la de ln x. Dos demostraciones, una gráfica de por qué coinciden las pendientes y el caso distinto de ln(2x + 1). Derivada de ln(x²) \frac{d}{dx}\,\ln(x^2) = \frac{2}{x} La derivada de ln(x²) es 2/x, mientras que la de (ln x)² es 2 ln x / x. Las dos demostraciones, una gráfica y cómo distinguir ambas funciones. Derivada de x ln x \frac{d}{dx}\,x\ln x = \ln x + 1 La derivada de x ln x es ln x + 1. Pasos con la regla del producto, el mínimo en x = 1/e, la segunda derivada, una gráfica y ejemplos parecidos. Derivada de x e^x \frac{d}{dx}\,xe^x = e^x(x + 1) La derivada de xeˣ es eˣ(x + 1). Pasos con la regla del producto, el mínimo en x = −1, el patrón de la derivada n-ésima, una gráfica y ejemplos resueltos. Derivada de x^x \frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1) La derivada de xˣ es xˣ(ln x + 1). Aprende dos métodos, la derivación logarítmica y la reescritura como e^(x ln x), con una gráfica y ejemplos. Derivada de ln(cos x) \frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = -\tan x La derivada de ln(cos x) es −tan x. Pasos con la regla de la cadena, por qué explica la integral de tan x, una gráfica, y ln(sen x) y ln(sec x).

Derivada de senh x \frac{d}{dx}\,\sinh x = \cosh x La derivada de senh x es cosh x. Demostración a partir de la definición exponencial, por qué no hay signo menos, ejemplos con la regla de la cadena y gráfica. Derivada de cosh x \frac{d}{dx}\,\cosh x = \sinh x La derivada de cosh x es senh x, sin signo menos. Demostración a partir de exponenciales, el ejemplo del cable colgante, la regla de la cadena y una gráfica. Derivada de tanh x \frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x La derivada de tanh x es sech² x, que es igual a 1 − tanh² x. Demostración con la regla del cociente, regla de la cadena, gráfica y derivada de artanh.