Arcocoseno arccos(x): gráfica, dominio, rango, derivada e integral

La función arcocoseno deshace el coseno: \arccos x es el ángulo en [0, \pi] cuyo coseno es x. Solo está definida para -1 \le x \le 1 y está muy ligada al arcoseno: ambos siempre suman \frac{\pi}{2}.

Definición de arccos x

Por ejemplo, \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}, porque \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} y \frac{2\pi}{3} está en [0, \pi]. Se usa el intervalo [0, \pi] porque el coseno es inyectivo allí y alcanza todos los valores de [-1, 1].

Gráfica de y = arccos x

A diferencia del arcoseno, el arcocoseno es decreciente y no es ni par ni impar. Su gráfica es simétrica respecto al punto \left(0, \frac{\pi}{2}\right), lo que refleja la identidad \arccos(-x) = \pi - \arccos x.

Valores clave del arcocoseno

Propiedades del arcocoseno

• Dominio [-1, 1], rango [0, \pi].
• Decreciente en todo su dominio.
• Cancelación. \cos(\arccos x) = x para x en [-1, 1]; \arccos(\cos x) = x solo para x en [0, \pi].
• Identidad complementaria. \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} para todo x en [-1, 1].
• Reflexión. \arccos(-x) = \pi - \arccos x.

Derivada de arccos x

Por qué. Sea y = \arccos x, de modo que \cos y = x. Derivando implícitamente, -\sin y\cdot y' = 1, así que y' = -\frac{1}{\sin y}. En [0, \pi] se cumple \sin y \ge 0, por lo que \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}.

Un camino más rápido: deriva \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x. La constante desaparece y el signo cambia.

Integral de arccos x

Usa integración por partes con u = \arccos x y dv = dx, de modo que du = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} y v = x:

Comprobación: la derivada de -\sqrt{1-x^2} es \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}, que cancela el término -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} que sale de la regla del producto en x\arccos x y deja \arccos x.

En la práctica rara vez necesitas una antiderivada con "arccos" para -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, ya que -\arcsin x + C funciona igual de bien. Las dos respuestas difieren en la constante \frac{\pi}{2}.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: regla de la cadena. Deriva f(x) = \arccos(x^2):

Ejemplo 2: evaluar. \arccos\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right). Como \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}, la respuesta es \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}, no \frac{5\pi}{3}.

Ejemplo 3: composición. Simplifica \sin(\arccos x). Con \theta = \arccos x en [0, \pi], \sin\theta \ge 0, así que \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}.

Ejemplo 4: una recta tangente. En x = 0, \arccos 0 = \frac{\pi}{2} y la pendiente es -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1. La recta tangente es y = \frac{\pi}{2} - x.

Errores comunes

1. Usar el rango del arcoseno. \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}, que está en [0, \pi], no -\frac{\pi}{4}.
2. Olvidar el signo menos en la derivada. La derivada del arcoseno es positiva; la del arcocoseno es negativa.
3. Confundir \cos^{-1}x con \sec x. El recíproco \frac{1}{\cos x} es la secante (consulta las funciones trigonométricas recíprocas).
4. Suponer que \arccos(\cos x) = x siempre. Solo se cumple para x en [0, \pi].

Cómo se relaciona el arcocoseno con otros temas

El arcocoseno da el ángulo entre dos vectores, \theta = \arccos\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}, por eso aparece junto al producto escalar. Su derivada es el reflejo de la del arcoseno, y la tercera función trigonométrica inversa que necesitas para integrar es la arcotangente.