Arkuskosinus arccos(x): Graph, Definitionsbereich, Ableitung, Integral

Die Arkuskosinusfunktion macht den Kosinus rückgängig: \arccos x ist der Winkel in [0, \pi], dessen Kosinus x ist. Sie ist nur für -1 \le x \le 1 definiert und eng mit dem Arkussinus verwandt: Beide ergeben zusammen immer \frac{\pi}{2}.

Definition von arccos x

Zum Beispiel ist \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}, denn \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} und \frac{2\pi}{3} liegt in [0, \pi]. Man nimmt das Intervall [0, \pi], weil der Kosinus dort injektiv ist und jeden Wert in [-1, 1] erreicht.

Graph von y = arccos x

Anders als der Arkussinus ist der Arkuskosinus fallend und weder gerade noch ungerade. Sein Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt \left(0, \frac{\pi}{2}\right), was die Identität \arccos(-x) = \pi - \arccos x widerspiegelt.

Wichtige Werte des Arkuskosinus

Eigenschaften des Arkuskosinus

• Definitionsbereich [-1, 1], Wertebereich [0, \pi].
• Fallend auf dem gesamten Definitionsbereich.
• Aufheben. \cos(\arccos x) = x für x in [-1, 1]; \arccos(\cos x) = x nur für x in [0, \pi].
• Ergänzungsidentität. \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} für jedes x in [-1, 1].
• Spiegelung. \arccos(-x) = \pi - \arccos x.

Ableitung von arccos x

Warum. Sei y = \arccos x, also \cos y = x. Implizites Differenzieren ergibt -\sin y\cdot y' = 1, also y' = -\frac{1}{\sin y}. Auf [0, \pi] gilt \sin y \ge 0, daher ist \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}.

Schneller geht es so: Leite \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x ab. Die Konstante fällt weg und das Vorzeichen dreht sich um.

Integral von arccos x

Verwende partielle Integration mit u = \arccos x und dv = dx, also du = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} und v = x:

Probe: Die Ableitung von -\sqrt{1-x^2} ist \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. Das hebt das -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} aus der Produktregel bei x\arccos x auf, und übrig bleibt \arccos x.

In der Praxis brauchst du selten eine "Arkuskosinus"-Stammfunktion für -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, denn -\arcsin x + C funktioniert genauso. Die beiden Ergebnisse unterscheiden sich nur um die Konstante \frac{\pi}{2}.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Kettenregel. Leite f(x) = \arccos(x^2) ab:

Beispiel 2: auswerten. \arccos\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right). Da \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} ist, lautet das Ergebnis \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}, nicht \frac{5\pi}{3}.

Beispiel 3: Verkettung. Vereinfache \sin(\arccos x). Mit \theta = \arccos x in [0, \pi] gilt \sin\theta \ge 0, also \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}.

Beispiel 4: eine Tangente. Bei x = 0 ist \arccos 0 = \frac{\pi}{2} und die Steigung -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1. Die Tangente lautet y = \frac{\pi}{2} - x.

Häufige Fehler

1. Den Wertebereich des Arkussinus verwenden. \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}, das in [0, \pi] liegt, nicht -\frac{\pi}{4}.
2. Das Minuszeichen in der Ableitung vergessen. Die Ableitung des Arkussinus ist positiv, die des Arkuskosinus negativ.
3. \cos^{-1}x als \sec x lesen. Der Kehrwert \frac{1}{\cos x} ist der Sekans (siehe reziproke trigonometrische Funktionen).
4. Annehmen, dass \arccos(\cos x) = x immer gilt. Das stimmt nur für x in [0, \pi].

Zusammenhänge mit anderen Themen

Der Arkuskosinus liefert den Winkel zwischen zwei Vektoren, \theta = \arccos\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}, weshalb er beim Skalarprodukt auftaucht. Seine Ableitung ist das Spiegelbild der des Arkussinus, und die dritte Arkusfunktion, die du fürs Integrieren brauchst, ist der Arkustangens.