Arco-cosseno arccos(x): Gráfico, Domínio, Imagem, Derivada e Integral

A função arco-cosseno desfaz o cosseno: \arccos x é o ângulo em [0, \pi] cujo cosseno é x. Ela só está definida para -1 \le x \le 1 e está muito ligada ao arco-seno: os dois sempre somam \frac{\pi}{2}.

Definição de arccos x

Por exemplo, \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}, porque \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} e \frac{2\pi}{3} está em [0, \pi]. Usa-se o intervalo [0, \pi] porque o cosseno é injetor ali e assume todos os valores de [-1, 1].

Gráfico de y = arccos x

Diferente do arco-seno, o arco-cosseno é decrescente e não é nem par nem ímpar. Seu gráfico é simétrico em relação ao ponto \left(0, \frac{\pi}{2}\right), o que reflete a identidade \arccos(-x) = \pi - \arccos x.

Valores notáveis do arco-cosseno

Propriedades do arco-cosseno

• Domínio [-1, 1], imagem [0, \pi].
• Decrescente em todo o seu domínio.
• Cancelamento. \cos(\arccos x) = x para x em [-1, 1]; \arccos(\cos x) = x somente para x em [0, \pi].
• Identidade complementar. \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} para todo x em [-1, 1].
• Reflexão. \arccos(-x) = \pi - \arccos x.

Derivada de arccos x

Por quê. Seja y = \arccos x, então \cos y = x. Derivando implicitamente, -\sin y\cdot y' = 1, logo y' = -\frac{1}{\sin y}. Em [0, \pi] temos \sin y \ge 0, então \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}.

Um caminho mais rápido: derive \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x. A constante desaparece e o sinal se inverte.

Integral de arccos x

Use integração por partes com u = \arccos x e dv = dx, de modo que du = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} e v = x:

Verificação: a derivada de -\sqrt{1-x^2} é \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}, que cancela o -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} vindo da regra do produto em x\arccos x, restando \arccos x.

Na prática, raramente você precisa de uma primitiva com "arccos" para -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, já que -\arcsin x + C funciona igualmente bem. As duas respostas diferem pela constante \frac{\pi}{2}.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: regra da cadeia. Derive f(x) = \arccos(x^2):

Exemplo 2: calcular. \arccos\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right). Como \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}, a resposta é \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}, e não \frac{5\pi}{3}.

Exemplo 3: composição. Simplifique \sin(\arccos x). Com \theta = \arccos x em [0, \pi], \sin\theta \ge 0, então \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}.

Exemplo 4: uma reta tangente. Em x = 0, \arccos 0 = \frac{\pi}{2} e a inclinação é -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1. A reta tangente é y = \frac{\pi}{2} - x.

Erros comuns

1. Usar a imagem do arco-seno. \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}, que está em [0, \pi], e não -\frac{\pi}{4}.
2. Esquecer o sinal de menos na derivada. A derivada do arco-seno é positiva; a do arco-cosseno é negativa.
3. Confundir \cos^{-1}x com \sec x. O inverso multiplicativo \frac{1}{\cos x} é a secante (veja funções trigonométricas recíprocas).
4. Supor que \arccos(\cos x) = x sempre. Isso só vale para x em [0, \pi].

Como o arco-cosseno se conecta a outros tópicos

O arco-cosseno dá o ângulo entre dois vetores, \theta = \arccos\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}, e por isso aparece junto com o produto escalar. Sua derivada espelha a do arco-seno, e a terceira função trigonométrica inversa de que você precisa na integração é o arco-tangente.