Funciones por partes: gráficas, límites, continuidad y derivadas

Una función definida por partes (o función a trozos) es una función definida por fórmulas distintas en distintas partes de su dominio. La regla te indica qué fórmula usar según dónde esté x. Las funciones por partes son los casos de prueba clásicos para límites, continuidad y derivabilidad, porque lo interesante ocurre donde se unen los tramos.

Cómo leer una función definida por partes

Para evaluar, primero averigua qué condición cumple x y luego usa solo ese tramo. Aquí f(0) = 0^2 = 0, f(1) = 3 - 1 = 2 (porque x \ge 1 incluye al 1) y f(2) = 3 - 2 = 1.

Gráfica de una función definida por partes

Cada tramo se dibuja solo en su propio intervalo. Un punto hueco marca un extremo que no está incluido; un punto relleno marca uno que sí lo está.

Límites de funciones definidas por partes

En un punto de corte a, calcula por separado los dos límites laterales, cada uno con su propio tramo. Para la función anterior en a = 1:

Los límites laterales son distintos, así que \lim_{x\to 1}f(x) no existe y la gráfica tiene un salto. Lejos del punto de corte, un límite es simplemente sustitución directa en el tramo activo.

Continuidad en un punto de corte

f es continua en a cuando coinciden estos tres valores:

1. el límite por la izquierda \lim_{x\to a^-}f(x),
2. el límite por la derecha \lim_{x\to a^+}f(x),
3. el valor f(a).

Ejemplo: elegir una constante. Buscamos el valor de k que hace continua la función

El límite por la izquierda en 2 es 2k + 1, y el límite por la derecha y el valor son 2^2 = 4. Igualando 2k + 1 = 4 se obtiene k = \frac{3}{2}.

Derivadas de funciones definidas por partes

Dentro de cada intervalo abierto, deriva el tramo activo como siempre. En un punto de corte necesitas dos comprobaciones:

• f debe ser continua ahí (un salto significa que no hay derivada).
• Las derivadas por la izquierda y por la derecha deben coincidir: \lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Cuando ambos tramos son polinomios derivables y f es continua en a, la segunda comprobación se reduce a comparar f_1'(a) con f_2'(a).

Ejemplo: un pico. La función valor absoluto |x| vale -x para x < 0 y x para x \ge 0. Es continua en 0, pero la pendiente por la izquierda es -1 y por la derecha es 1, así que |x| no es derivable en 0.

Ejemplo: continua pero no suave. Para la g anterior con k = \frac{3}{2}, la pendiente por la izquierda en 2 es \frac{3}{2} y la pendiente por la derecha es 2x = 4. Son distintas, así que g es continua pero no derivable en x = 2.

Integrar una función definida por partes

Divide la integral en cada punto de corte que haya dentro del intervalo. Para la primera función en [0, 3]:

La segunda integral es \left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = 2. Un único salto no cambia el valor de la integral, así que no importa a qué tramo pertenezca el punto x = 1.

Errores comunes

1. Usar el tramo equivocado en el borde. Revisa si la condición dice < o \le antes de evaluar f(a).
2. Concluir la continuidad mirando un solo lado. Ambos límites laterales y el valor deben coincidir.
3. Suponer que continua significa derivable. Los picos como |x| en 0 son continuos pero no tienen derivada.
4. Derivar los tramos y compararlos en un salto. Si f no es continua en a, no es derivable ahí, aunque las pendientes de los tramos coincidan.
5. Integrar una sola fórmula en todo el intervalo. Divide siempre en los puntos de corte.

Funciones relacionadas

Las funciones parte entera superior e inferior son funciones escalonadas constantes a trozos con un salto en cada entero, y el valor absoluto es la función por partes más sencilla con un pico. Para un tratamiento completo de límites y continuidad, consulta la guía de continuidad.