Abschnittsweise definierte Funktionen: Graph, Grenzwert, Ableitung

Eine abschnittsweise definierte Funktion ist eine Funktion, die auf verschiedenen Teilen ihres Definitionsbereichs durch verschiedene Terme gegeben ist. Welcher Term gilt, hängt davon ab, wo x liegt. Abschnittsweise definierte Funktionen sind die klassischen Testfälle für Grenzwerte, Stetigkeit und Differenzierbarkeit, denn das Interessante passiert dort, wo die Abschnitte aufeinandertreffen.

So liest man eine abschnittsweise definierte Funktion

Zum Auswerten prüfst du zuerst, welche Bedingung x erfüllt, und verwendest dann nur diesen Term. Hier ist f(0) = 0^2 = 0, f(1) = 3 - 1 = 2 (denn x \ge 1 schließt 1 ein) und f(2) = 3 - 2 = 1.

Graph einer abschnittsweise definierten Funktion

Jeder Abschnitt wird nur auf seinem eigenen Intervall gezeichnet. Ein offener Punkt markiert einen Randpunkt, der nicht dazugehört; ein ausgefüllter Punkt einen, der dazugehört.

Grenzwerte abschnittsweise definierter Funktionen

An einer Nahtstelle a berechnest du die beiden einseitigen Grenzwerte getrennt, jeweils mit dem passenden Term. Für die Funktion oben bei a = 1:

Die einseitigen Grenzwerte sind verschieden, also existiert \lim_{x\to 1}f(x) nicht, und der Graph hat einen Sprung. Abseits der Nahtstelle bestimmst du einen Grenzwert einfach durch direktes Einsetzen in den zuständigen Term.

Stetigkeit an einer Nahtstelle

f ist bei a stetig, wenn alle drei Größen übereinstimmen:

1. der linksseitige Grenzwert \lim_{x\to a^-}f(x),
2. der rechtsseitige Grenzwert \lim_{x\to a^+}f(x),
3. der Funktionswert f(a).

Beispiel: eine Konstante bestimmen. Für welches k ist

stetig? Der linksseitige Grenzwert bei 2 ist 2k + 1, rechtsseitiger Grenzwert und Funktionswert sind 2^2 = 4. Aus 2k + 1 = 4 folgt k = \frac{3}{2}.

Ableitungen abschnittsweise definierter Funktionen

Innerhalb jedes offenen Intervalls leitest du den zuständigen Term wie gewohnt ab. An einer Nahtstelle brauchst du zwei Prüfungen:

• f muss dort stetig sein (bei einem Sprung gibt es keine Ableitung).
• Linke und rechte Ableitung müssen übereinstimmen: \lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Sind beide Teilfunktionen differenzierbare Polynome und ist f bei a stetig, reduziert sich die zweite Prüfung auf den Vergleich von f_1'(a) mit f_2'(a).

Beispiel: ein Knick. Die Betragsfunktion |x| ist -x für x < 0 und x für x \ge 0. Sie ist bei 0 stetig, aber die linke Steigung ist -1 und die rechte Steigung 1. Also ist |x| bei 0 nicht differenzierbar.

Beispiel: stetig, aber nicht glatt. Für g von oben mit k = \frac{3}{2} ist die linke Steigung bei 2 gleich \frac{3}{2} und die rechte Steigung 2x = 4. Sie sind verschieden, also ist g bei x = 2 stetig, aber nicht differenzierbar.

Abschnittsweise definierte Funktionen integrieren

Teile das Integral an jeder Nahtstelle innerhalb des Intervalls auf. Für die erste Funktion auf [0, 3]:

Das zweite Integral ist \left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = 2. Ein einzelner Sprung ändert den Wert des Integrals nicht, daher ist es egal, zu welchem Abschnitt der Punkt x = 1 gehört.

Häufige Fehler

1. Am Rand den falschen Term verwenden. Prüfe, ob die Bedingung < oder \le lautet, bevor du f(a) berechnest.
2. Stetigkeit nur von einer Seite aus folgern. Beide einseitigen Grenzwerte und der Funktionswert müssen übereinstimmen.
3. Annehmen, dass stetig auch differenzierbar bedeutet. Knicke wie bei |x| an der Stelle 0 sind stetig, haben aber keine Ableitung.
4. An einer Sprungstelle die abgeleiteten Terme vergleichen. Ist f bei a nicht stetig, ist die Funktion dort auch nicht differenzierbar, selbst wenn die Steigungen der Abschnitte zufällig übereinstimmen.
5. Einen einzigen Term über das ganze Intervall integrieren. Teile immer an den Nahtstellen auf.

Verwandte Funktionen

Die Gaußklammer- und Aufrundungsfunktion sind abschnittsweise konstante Treppenfunktionen mit einem Sprung an jeder ganzen Zahl, und die Betragsfunktion ist die einfachste abschnittsweise definierte Funktion mit einem Knick. Eine ausführliche Behandlung von Grenzwerten und Stetigkeit findest du im Leitfaden zur Stetigkeit.