Funciones piso y techo: gráficas, límites, derivada e integral

La función piso \lfloor x\rfloor redondea un número hacia abajo al entero más cercano, y la función techo \lceil x\rceil lo redondea hacia arriba. Sus gráficas parecen escaleras, lo que las convierte en los ejemplos clásicos de funciones definidas por partes con discontinuidades de salto. La función piso también se llama función parte entera (o mayor entero) y a veces se escribe [x] o \operatorname{int}(x).

Definiciones

Es decir, el piso es el mayor entero que no supera al número, y el techo es el menor entero que no queda por debajo de él.

Cuidado con los números negativos: redondear -2.7 hacia abajo lo lleva a -3, no a -2.

Gráfica de la función piso

Gráfica de la función techo

Propiedades clave

• Rango. Ambas funciones solo devuelven enteros.
• Cotas. x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x\rceil < x + 1.
• Los enteros quedan fijos. \lfloor n\rfloor = \lceil n\rceil = n para cualquier entero n.
• Desplazar por un entero. \lfloor x + n\rfloor = \lfloor x\rfloor + n para cualquier entero n.
• Piso y techo están relacionados. \lceil x\rceil = -\lfloor -x\rfloor, y para un x no entero, \lceil x\rceil = \lfloor x\rfloor + 1.

Límites y continuidad

Entre enteros la función piso es constante, así que es continua allí. En un entero n los límites laterales no coinciden:

Por tanto, \lim_{x\to n}\lfloor x\rfloor no existe y hay un salto de tamaño 1. Como el límite por la derecha es igual a \lfloor n\rfloor, la función piso es continua por la derecha. La función techo es al revés: \lim_{x\to n^-}\lceil x\rceil = n y \lim_{x\to n^+}\lceil x\rceil = n + 1, así que es continua por la izquierda. Para las definiciones formales, consulta la guía de continuidad.

Ejemplo: un límite en el infinito. Calcula \lim_{x\to\infty}\frac{\lfloor x\rfloor}{x}. Para x > 0, al dividir x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x entre x se obtiene 1 - \frac{1}{x} < \frac{\lfloor x\rfloor}{x} \le 1. Ambas cotas tienden a 1, así que por el Teorema del Sándwich el límite es 1.

Derivada de la función piso

En cada intervalo abierto (n, n+1) la función es la constante n, cuya derivada es 0. En un entero la función no es continua, así que no es derivable. Lo mismo ocurre con la función techo.

Integral de la función piso

Cada intervalo unidad [k, k+1] aporta un rectángulo de altura k y base 1, así que basta sumar áreas de rectángulos, como en una suma de Riemann que resulta ser exacta. Para x \ge 0:

La misma fórmula también vale para x negativo.

Ejemplo. \int_0^{3.5}\lfloor t\rfloor\,dt = 0 + 1 + 2 + 3(0.5) = 4.5. La fórmula coincide: 3(3.5) - \frac{3\cdot 4}{2} = 10.5 - 6 = 4.5.

Ejemplo con techo. \int_0^3\lceil t\rceil\,dt = 1 + 2 + 3 = 6, ya que \lceil t\rceil vale 1 en (0, 1], 2 en (1, 2] y 3 en (2, 3]. Los puntos aislados no afectan a una integral.

Errores comunes

1. Redondear los negativos hacia cero. \lfloor -1.2\rfloor = -2, no -1.
2. Afirmar que el límite en un entero existe. Los límites por la izquierda y por la derecha difieren en 1.
3. Poner el punto relleno en el extremo equivocado. Los escalones del piso están cerrados a la izquierda; los del techo, a la derecha.
4. Derivar en un salto. La derivada es 0 solo entre enteros. En los enteros no existe.

Dónde las verás

Las funciones escalonadas modelan cualquier cosa que se cobre por unidades completas: el envío por cada fracción de peso, el estacionamiento por hora o los tramos de impuestos. En cálculo son los ejemplos de referencia para los límites laterales y para funciones integrables que no son continuas. Consulta la estrategia general en funciones definidas por partes y compárala con el pico de la función valor absoluto.