Funções definidas por partes: gráficos, limites e continuidade

Uma função definida por partes é uma função dada por fórmulas diferentes em partes diferentes do seu domínio. A regra indica qual fórmula usar de acordo com a posição de x. Funções definidas por partes são os casos de teste clássicos para limites, continuidade e derivabilidade, porque o comportamento interessante acontece onde as partes se encontram.

Como ler uma função definida por partes

Para calcular um valor, primeiro descubra qual condição x satisfaz e depois use apenas aquela parte. Aqui f(0) = 0^2 = 0, f(1) = 3 - 1 = 2 (porque x \ge 1 inclui o 1) e f(2) = 3 - 2 = 1.

Gráfico de uma função definida por partes

Cada parte é desenhada apenas no seu próprio intervalo. Uma bolinha aberta marca uma extremidade que não está incluída; uma bolinha fechada marca uma que está.

Limites de funções definidas por partes

Em um ponto de quebra a, calcule os dois limites laterais separadamente, cada um com a sua parte. Para a função acima em a = 1:

Os limites laterais são diferentes, então \lim_{x\to 1}f(x) não existe, e o gráfico apresenta um salto. Longe do ponto de quebra, o limite é apenas substituição direta na parte ativa.

Continuidade em um ponto de quebra

f é contínua em a quando estes três valores coincidem:

1. o limite lateral à esquerda \lim_{x\to a^-}f(x),
2. o limite lateral à direita \lim_{x\to a^+}f(x),
3. o valor f(a).

Exemplo: escolhendo uma constante. Para qual valor de k a função

é contínua? O limite à esquerda em 2 é 2k + 1, e o limite à direita e o valor são 2^2 = 4. Fazendo 2k + 1 = 4, obtemos k = \frac{3}{2}.

Derivadas de funções definidas por partes

Dentro de cada intervalo aberto, derive a parte ativa normalmente. Em um ponto de quebra, são necessárias duas verificações:

• f precisa ser contínua ali (um salto significa que não há derivada).
• As derivadas à esquerda e à direita precisam coincidir: \lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Quando as duas partes são polinômios deriváveis e f é contínua em a, a segunda verificação se reduz a comparar f_1'(a) com f_2'(a).

Exemplo: um bico. A função módulo |x| vale -x para x < 0 e x para x \ge 0. Ela é contínua em 0, mas a inclinação à esquerda é -1 e a inclinação à direita é 1, então |x| não é derivável em 0.

Exemplo: contínua, mas não suave. Para a função g acima com k = \frac{3}{2}, a inclinação à esquerda em 2 é \frac{3}{2} e a inclinação à direita é 2x = 4. Elas são diferentes, então g é contínua, mas não é derivável em x = 2.

Integrando uma função definida por partes

Divida a integral em cada ponto de quebra dentro do intervalo. Para a primeira função em [0, 3]:

A segunda integral é \left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = 2. Um único salto não altera o valor da integral, então não importa a qual parte pertence o ponto x = 1.

Erros comuns

1. Usar a parte errada na fronteira. Verifique se a condição diz < ou \le antes de calcular f(a).
2. Concluir continuidade olhando só um lado. Os dois limites laterais e o valor precisam coincidir.
3. Achar que contínua significa derivável. Bicos como o de |x| em 0 são contínuos, mas não têm derivada.
4. Derivar as partes e compará-las em um salto. Se f não é contínua em a, ela não é derivável ali, mesmo que as inclinações das partes coincidam.
5. Integrar uma única fórmula no intervalo inteiro. Sempre divida a integral nos pontos de quebra.

Funções relacionadas

As funções piso e teto são funções escada, constantes por partes, com um salto em cada número inteiro, e o módulo é a função definida por partes mais simples que tem um bico. Para um estudo completo de limites e continuidade, veja o guia de continuidade.