Exponentialfunktion bˣ: Graph, Wachstum, Ableitung und Integral

Eine Exponentialfunktion hat eine konstante Basis, die mit einer variablen Hochzahl potenziert wird: f(x) = b^x. Jedes Mal, wenn x um 1 wächst, wird der Funktionswert mit demselben Faktor b multipliziert. Deshalb beschreiben Exponentialfunktionen Zinseszins, Bevölkerungswachstum, Halbwertszeiten und alles andere, was sich um einen festen Prozentsatz ändert.

Formel

Allgemeiner ist f(x) = A\,b^x, wobei A = f(0) der Anfangswert ist. Die Einschränkungen für b sind wichtig: b = 1 liefert die Konstante 1, und eine negative Basis wie (-2)^x ist für die meisten gebrochenen x nicht reell. Die wichtigste Basis ist e; siehe die natürliche Exponentialfunktion.

Graphen von Exponentialfunktionen

Wichtige Eigenschaften

• Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich (0, \infty); der Graph verläuft immer durch (0, 1).
• Wachstum (b > 1): streng monoton steigend, b^x \to \infty für x \to \infty und b^x \to 0 für x \to -\infty.
• Zerfall (0 < b < 1): streng monoton fallend, mit den umgekehrten Grenzwerten.
• Waagerechte Asymptote y = 0 in beiden Fällen. Keine Schnittpunkte mit der x-Achse.
• Linksgekrümmt (konvex) für jede zulässige Basis.
• Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion \log_b x.
• Basiswechsel: b^x = e^{x\ln b}.
• Potenzgesetze: b^{m}b^{n} = b^{m+n}, \frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}, (b^m)^n = b^{mn}, b^{-n} = \frac{1}{b^n}.

Ableitung von bˣ

Schreibe die Funktion mit der Basis e um und wende die Kettenregel an:

Die Ableitung ist proportional zur Funktion selbst. Für b > 1 ist \ln b > 0 (Wachstum); für 0 < b < 1 ist \ln b < 0 (Zerfall). Mit einer inneren Funktion gilt \frac{d}{dx}b^{g(x)} = b^{g(x)}\ln b \cdot g'(x).

Integral von bˣ

Zur Probe die rechte Seite ableiten: \frac{b^x\ln b}{\ln b} = b^x.

Rechenbeispiele

Beispiel 1. \frac{d}{dx}5^x = 5^x\ln 5.

Beispiel 2: Kettenregel. \frac{d}{dx}3^{x^2} = 3^{x^2}\ln 3 \cdot 2x.

Beispiel 3: bestimmtes Integral. \int_0^2 2^x\,dx = \left[\frac{2^x}{\ln 2}\right]_0^2 = \frac{4 - 1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2} \approx 4.33.

Beispiel 4: Halbwertszeit. Eine Probe mit einer Halbwertszeit von 5 Jahren hat A(t) = A_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5}. Die Zerfallsrate ist

Die Probe verliert also in jedem Moment etwa 13.9\% ihrer aktuellen Menge pro Jahr.

Beispiel 5: Zinseszins. Bei 5\% Zinsen pro Jahr gilt P(t) = P_0(1.05)^t. Bei stetiger Verzinsung wird daraus P_0e^{0.05t}.

Häufige Fehler

1. Die Potenzregel verwenden. \frac{d}{dx}2^x \ne x\,2^{x-1}.
2. Den Faktor \ln b vergessen oder \log_{10} b statt \ln b schreiben.
3. Beim Integrieren multiplizieren statt dividieren. \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C, nicht 2^x\ln 2 + C.
4. 2 \cdot 3^x = 6^x schreiben. Der Vorfaktor lässt sich nicht mit der Basis zusammenfassen.

Zusammenhänge

Exponentialfunktionen wachsen schneller als jedes Polynom. Diese Tatsache steckt hinter vielen Aufgaben zu Grenzwerten im Unendlichen und zur Regel von L'Hospital. Geometrische Folgen sind Exponentialfunktionen, ausgewertet an ganzen Zahlen, und führen zur geometrischen Reihe. Mehr Übung zum Ableiten bietet der Leitfaden zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.