Fonctions exponentielles bˣ : courbes, dérivée et primitive

Une fonction exponentielle est formée d'une base constante élevée à une puissance variable, f(x) = b^x. Chaque fois que x augmente de 1, le résultat est multiplié par le même facteur b : c'est pourquoi les exponentielles modélisent les intérêts composés, la croissance d'une population, les demi-vies et tout ce qui évolue d'un pourcentage fixe.

Formule

Plus généralement, f(x) = A\,b^x, où A = f(0) est la valeur initiale. Les conditions sur b comptent : b = 1 donne la constante 1, et une base négative comme (-2)^x n'est pas réelle pour la plupart des x fractionnaires. La base la plus importante est e ; voir la fonction exponentielle.

Courbes des fonctions exponentielles

Propriétés principales

• Domaine de définition : tous les réels ; ensemble image : (0, \infty). La courbe passe toujours par (0, 1).
• Croissance (b > 1) : fonction croissante, b^x \to \infty quand x \to \infty et b^x \to 0 quand x \to -\infty.
• Décroissance (0 < b < 1) : fonction décroissante, avec les limites inverses.
• Asymptote horizontale y = 0 dans les deux cas. Aucun point d'intersection avec l'axe des x.
• Convexe pour toute base admissible.
• Réciproque : la fonction logarithme \log_b x.
• Changement de base : b^x = e^{x\ln b}.
• Règles de calcul sur les exposants : b^{m}b^{n} = b^{m+n}, \frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}, (b^m)^n = b^{mn}, b^{-n} = \frac{1}{b^n}.

Dérivée de bˣ

On réécrit avec la base e et on utilise la règle de dérivation en chaîne :

La dérivée est proportionnelle à la fonction elle-même. Pour b > 1, \ln b > 0 (croissance) ; pour 0 < b < 1, \ln b < 0 (décroissance). Avec une fonction intérieure, \frac{d}{dx}b^{g(x)} = b^{g(x)}\ln b \cdot g'(x).

Primitive de bˣ

Pour vérifier, on dérive le membre de droite : \frac{b^x\ln b}{\ln b} = b^x.

Exemples corrigés

Exemple 1. \frac{d}{dx}5^x = 5^x\ln 5.

Exemple 2 : dérivation en chaîne. \frac{d}{dx}3^{x^2} = 3^{x^2}\ln 3 \cdot 2x.

Exemple 3 : intégrale définie. \int_0^2 2^x\,dx = \left[\frac{2^x}{\ln 2}\right]_0^2 = \frac{4 - 1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2} \approx 4.33.

Exemple 4 : demi-vie. Un échantillon de demi-vie 5 ans vérifie A(t) = A_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5}. La vitesse de désintégration est

donc, à chaque instant, l'échantillon perd environ 13.9\% de sa quantité actuelle par an.

Exemple 5 : intérêts composés. Avec un taux annuel de 5\%, P(t) = P_0(1.05)^t. Avec une capitalisation continue, on obtient P_0e^{0.05t}.

Erreurs fréquentes

1. Utiliser la règle de la puissance. \frac{d}{dx}2^x \ne x\,2^{x-1}.
2. Oublier le facteur \ln b, ou écrire \log_{10} b au lieu de \ln b.
3. Multiplier au lieu de diviser en intégrant. \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C, et non 2^x\ln 2 + C.
4. Écrire 2 \cdot 3^x = 6^x. Le coefficient ne se combine pas avec la base.

Liens avec le reste du programme

Les exponentielles l'emportent sur tous les polynômes, un fait au cœur de nombreux problèmes de limites en l'infini et de règle de L'Hôpital. Les suites géométriques sont des exponentielles évaluées aux entiers, ce qui mène aux séries géométriques. Pour vous entraîner davantage, lisez le guide sur les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes.