Integración por sustitución (cambio de variable): pasos y ejemplos
La integración por sustitución invierte la regla de la cadena: ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du. Fórmula, cómo elegir u, cambio de límites y ejemplos.
Reglas de integración Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Invierte
- La regla de la cadena para derivadas
- Cuándo usarla
- El integrando contiene una función interior g(x) y, salvo una constante, su derivada g'(x)
- Paso clave
- Haz u = g(x) y sustituye dx usando du = g'(x)\,dx
- Integrales definidas
- Cambia los límites a u = g(a) y u = g(b)
- También llamada
- Cambio de variable, sustitución u
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La integración por sustitución (o cambio de variable) es la regla de la cadena aplicada al revés. Cuando un integrando contiene una función dentro de otra, junto con la derivada de esa función interior, un único cambio de variable lo convierte en una integral inmediata.
La fórmula de integración por sustitución
Si u = g(x) es derivable y f es continua, entonces
La clave está en la diferencial: de u = g(x) se obtiene du = g'(x)\,dx, que sustituye a la vez el factor sobrante y el dx.
En una integral definida, los límites cambian junto con la variable:
Los pasos
- Elige u: la función interior de una composición.
- Calcula du: du = g'(x)\,dx, y despeja dx o el factor que necesites.
- Sustituye: reescribe toda la integral en función de u. No puede quedar ninguna x.
- Integra en u con una regla básica, como la regla de la potencia para integrales.
- Deshaz el cambio con u = g(x), o usa los nuevos límites en una integral definida.
Cómo reconocerla
| Forma del integrando | Buena elección de u |
|---|---|
| (\text{algo})^n \cdot (\text{su derivada}) | ese algo |
| e^{g(x)}\,g'(x) | el exponente g(x) |
| \sin(g(x))\,g'(x), \cos(g(x))\,g'(x) | el ángulo g(x) |
| \frac{g'(x)}{g(x)} | el denominador g(x), que da \ln\lvert g(x)\rvert |
| f(ax + b) | la expresión lineal interior ax + b |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una potencia. En \int 2x\,(x^2 + 1)^5\,dx, haz u = x^2 + 1, de modo que du = 2x\,dx:
Ejemplo 2: ajustar una constante. En \int x\,e^{x^2}\,dx, haz u = x^2, de modo que du = 2x\,dx y x\,dx = \frac{1}{2}du:
Ejemplo 3: un interior lineal. En \int \cos(3x)\,dx, haz u = 3x, de modo que dx = \frac{1}{3}du:
Ejemplo 4: aparece un logaritmo. En \int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx, haz u = \cos x, de modo que \sin x\,dx = -du:
Ejemplo 5: una integral definida. En \int_0^1 2x\,(x^2+1)^3\,dx, haz u = x^2 + 1. Cuando x = 0, u = 1; cuando x = 1, u = 2:
Cómo comprobar el resultado
Deriva el resultado y deberías recuperar el integrando original, incluida la derivada interior. En el ejemplo 1, la regla de la cadena da
que coincide. Si la comprobación falla por un factor constante, lo más probable es que olvidaras ajustar du. Si falla por un factor que contiene x, la sustitución no era válida desde el principio y necesitas otra u u otra técnica.
Errores comunes
- Dejar x en la integral. En \int x^2 e^{x^2}\,dx con u = x^2 sobra una x que no se puede eliminar. Ahí la sustitución no funciona, y ninguna constante lo arregla.
- Olvidar sustituir dx. \int (2x+1)^3\,dx no es \frac{(2x+1)^4}{4} + C. Con du = 2\,dx el resultado es \frac{(2x+1)^4}{8} + C.
- Mezclar límites. Después de pasar a u, usa los límites en u. Sustituir los antiguos límites en x en una expresión en u da un número incorrecto.
- No deshacer el cambio. El resultado de una integral indefinida debe quedar en función de x.
Dónde encaja
La sustitución es la primera técnica que conviene probar después de las reglas básicas y la linealidad. Si el integrando es un producto de dos funciones sin relación, como x\,e^{x}, no hay ninguna derivada interior que encaje y la integración por partes suele ser la herramienta adecuada. Para un recorrido paso a paso con más ejemplos, lee la guía completa de integración por sustitución.
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Sustitución (cambio de variable)
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