Substitutionsregel (Integration durch Substitution): Formel, Beispiele
Die Substitutionsregel kehrt die Kettenregel um: ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du. Formel, Wahl von u, neue Grenzen bei bestimmten Integralen und Beispiele.
Integrationsregeln Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Umkehrung von
- Der Kettenregel für Ableitungen
- Einsatz
- Der Integrand enthält eine innere Funktion g(x) und, bis auf eine Konstante, ihre Ableitung g'(x)
- Entscheidender Schritt
- Setze u = g(x) und ersetze dx mithilfe von du = g'(x)\,dx
- Bestimmte Integrale
- Die Grenzen auf u = g(a) und u = g(b) umrechnen
- Auch genannt
- Integration durch Substitution, Variablenwechsel
Auf dieser Seite
Die Substitutionsregel ist die Kettenregel rückwärts angewendet. Enthält ein Integrand eine Funktion in einer anderen Funktion und dazu die Ableitung dieser inneren Funktion, dann verwandelt ein einziger Variablenwechsel ihn in ein Grundintegral.
Die Formel der Substitutionsregel
Ist u = g(x) differenzierbar und f stetig, so gilt
Der Trick steckt im Differential: Aus u = g(x) folgt du = g'(x)\,dx, und das ersetzt den übrigen Faktor und das dx gemeinsam.
Bei einem bestimmten Integral ändern sich die Grenzen mit der Variablen:
Die Schritte
- u wählen: die innere Funktion einer Verkettung.
- du berechnen: du = g'(x)\,dx, dann nach dx oder nach dem benötigten Faktor auflösen.
- Substituieren: das ganze Integral in u umschreiben. Es darf kein x übrig bleiben.
- Integrieren in u mit einer Grundregel wie der umgekehrten Potenzregel.
- Zurücksubstituieren mit u = g(x) oder bei einem bestimmten Integral die neuen Grenzen verwenden.
Woran man sie erkennt
| Muster im Integranden | Gute Wahl für u |
|---|---|
| (\text{etwas})^n \cdot (\text{seine Ableitung}) | das „etwas“ |
| e^{g(x)}\,g'(x) | der Exponent g(x) |
| \sin(g(x))\,g'(x), \cos(g(x))\,g'(x) | das Argument g(x) |
| \frac{g'(x)}{g(x)} | der Nenner g(x), ergibt \ln\lvert g(x)\rvert |
| f(ax + b) | der lineare innere Term ax + b |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: eine Potenz. Bei \int 2x\,(x^2 + 1)^5\,dx setzt du u = x^2 + 1, also du = 2x\,dx:
Beispiel 2: eine Konstante ausgleichen. Bei \int x\,e^{x^2}\,dx setzt du u = x^2, also du = 2x\,dx und x\,dx = \frac{1}{2}du:
Beispiel 3: ein linearer innerer Term. Bei \int \cos(3x)\,dx setzt du u = 3x, also dx = \frac{1}{3}du:
Beispiel 4: ein Logarithmus entsteht. Bei \int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx setzt du u = \cos x, also \sin x\,dx = -du:
Beispiel 5: ein bestimmtes Integral. Bei \int_0^1 2x\,(x^2+1)^3\,dx setzt du u = x^2 + 1. Für x = 0 ist u = 1, für x = 1 ist u = 2:
Das Ergebnis überprüfen
Leite das Ergebnis ab, dann solltest du den ursprünglichen Integranden samt innerer Ableitung zurückerhalten. Für Beispiel 1 liefert die Kettenregel
und das passt. Weicht deine Probe um einen konstanten Faktor ab, hast du höchstwahrscheinlich vergessen, du anzupassen. Weicht sie um einen Faktor ab, der x enthält, war die Substitution von vornherein nicht zulässig, und du brauchst ein anderes u oder eine andere Technik.
Häufige Fehler
- x im Integral stehen lassen. Bei \int x^2 e^{x^2}\,dx mit u = x^2 bleibt ein zusätzliches x übrig, das sich nicht entfernen lässt. Hier versagt die Substitution, und keine Konstante hilft.
- Vergessen, dx zu ersetzen. \int (2x+1)^3\,dx ist nicht \frac{(2x+1)^4}{4} + C. Mit du = 2\,dx lautet das Ergebnis \frac{(2x+1)^4}{8} + C.
- Grenzen vermischen. Nach dem Umschreiben in u verwendest du die u-Grenzen. Setzt du die alten x-Grenzen in einen Ausdruck in u ein, erhältst du eine falsche Zahl.
- Nicht zurücksubstituieren. Das Ergebnis eines unbestimmten Integrals muss in x angegeben werden.
Wo sie einzuordnen ist
Die Substitution ist die erste Technik, die du nach den Grundregeln und der Linearität ausprobierst. Ist der Integrand ein Produkt zweier unabhängiger Funktionen, etwa x\,e^{x}, gibt es keine innere Ableitung, die passt, und meist ist die partielle Integration das richtige Werkzeug. Eine Schritt-für-Schritt-Anleitung mit weiteren Beispielen findest du im ausführlichen Leitfaden zur Substitutionsregel.
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