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Règles d'intégration

Changement de variable (intégrales) : formule, étapes et exemples

Le changement de variable inverse la dérivation en chaîne : ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du. Formule, choix de u, bornes des intégrales définies et exemples.

Règles d'intégration Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x)
Inverse
La règle de dérivation en chaîne
À utiliser quand
La fonction à intégrer contient une fonction intérieure g(x) et, à une constante près, sa dérivée g'(x)
Étape clé
Poser u = g(x) et remplacer dx grâce à du = g'(x)\,dx
Intégrales définies
Changer les bornes en u = g(a) et u = g(b)
Aussi appelé
Intégration par substitution, méthode de substitution
Sur cette page
  1. La formule du changement de variable
  2. Les étapes
  3. Comment le repérer
  4. Exemples corrigés
  5. Vérifier son résultat
  6. Erreurs fréquentes
  7. Sa place parmi les techniques

Le changement de variable est la règle de dérivation en chaîne appliquée à l'envers. Lorsqu'une fonction à intégrer contient une fonction à l'intérieur d'une autre, accompagnée de la dérivée de cette fonction intérieure, un seul changement de variable la ramène à une intégrale usuelle.

La formule du changement de variable

Si u = g(x) est dérivable et si f est continue, alors

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

L'astuce tient à la différentielle : de u = g(x) on tire du = g'(x)\,dx, qui remplace d'un coup le facteur restant et le dx.

Pour une intégrale définie, les bornes changent avec la variable :

\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du

Les étapes

  1. Choisir u : la fonction intérieure d'une composée.
  2. Calculer du : du = g'(x)\,dx, puis exprimer dx ou le facteur dont on a besoin.
  3. Substituer : réécrire toute l'intégrale en u. Il ne doit plus rester de x.
  4. Intégrer en u avec une règle de base comme la primitive d'une puissance.
  5. Revenir à la variable d'origine avec u = g(x), ou utiliser les nouvelles bornes pour une intégrale définie.

Comment le repérer

Forme de la fonction à intégrer Bon choix de u
(\text{quelque chose})^n \cdot (\text{sa dérivée}) le quelque chose
e^{g(x)}\,g'(x) l'exposant g(x)
\sin(g(x))\,g'(x), \cos(g(x))\,g'(x) l'angle g(x)
\frac{g'(x)}{g(x)} le dénominateur g(x), ce qui donne \ln\lvert g(x)\rvert
f(ax + b) l'expression affine intérieure ax + b

Exemples corrigés

Exemple 1 : une puissance. Pour \int 2x\,(x^2 + 1)^5\,dx, on pose u = x^2 + 1, donc du = 2x\,dx :

\int u^5\,du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C

Exemple 2 : corriger une constante. Pour \int x\,e^{x^2}\,dx, on pose u = x^2, donc du = 2x\,dx et x\,dx = \frac{1}{2}du :

\int e^{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}e^{x^2} + C

Exemple 3 : une expression affine à l'intérieur. Pour \int \cos(3x)\,dx, on pose u = 3x, donc dx = \frac{1}{3}du :

\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C

Exemple 4 : un logarithme apparaît. Pour \int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx, on pose u = \cos x, donc \sin x\,dx = -du :

\int -\frac{1}{u}\,du = -\ln\lvert \cos x\rvert + C

Exemple 5 : une intégrale définie. Pour \int_0^1 2x\,(x^2+1)^3\,dx, on pose u = x^2 + 1. Quand x = 0, u = 1 ; quand x = 1, u = 2 :

\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}

Vérifier son résultat

Dérivez le résultat : vous devez retrouver la fonction à intégrer de départ, dérivée intérieure comprise. Pour l'exemple 1, la dérivation en chaîne donne

\frac{d}{dx}\left[\frac{(x^2+1)^6}{6}\right] = (x^2+1)^5 \cdot 2x

ce qui correspond. Si la vérification diffère d'un facteur constant, vous avez probablement oublié d'ajuster du. Si elle diffère d'un facteur contenant x, le changement de variable n'était pas valable au départ : il faut un autre u ou une autre technique.

Erreurs fréquentes

  1. Laisser du x dans l'intégrale. Dans \int x^2 e^{x^2}\,dx avec u = x^2, il reste un x en trop impossible à éliminer. Le changement de variable échoue, et aucune constante n'y remédie.
  2. Oublier de remplacer dx. \int (2x+1)^3\,dx ne vaut pas \frac{(2x+1)^4}{4} + C. Avec du = 2\,dx, le résultat est \frac{(2x+1)^4}{8} + C.
  3. Mélanger les bornes. Après le passage en u, utilisez les bornes en u. Remplacer les anciennes bornes en x dans une expression en u donne un résultat faux.
  4. Ne pas revenir à la variable d'origine. Le résultat d'une intégrale indéfinie doit être exprimé en fonction de x.

Sa place parmi les techniques

Le changement de variable est la première technique à essayer après les règles de base et la linéarité. Si la fonction à intégrer est le produit de deux fonctions sans lien, comme x\,e^{x}, il n'y a pas de dérivée intérieure à faire apparaître et l'intégration par parties est en général le bon outil. Pour une présentation pas à pas avec davantage d'exemples, lisez le guide complet sur le changement de variable.

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Questions fréquentes

Quelle est la formule du changement de variable ?
C'est la formule \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du avec u = g(x). Elle transforme une intégrale issue de la dérivation en chaîne en une intégrale plus simple en u.

Comment choisir u dans un changement de variable ?
Choisissez la partie intérieure d'une composée, par exemple l'expression à l'intérieur d'une puissance, d'une racine, d'une exponentielle ou d'une fonction trigonométrique, dont la dérivée apparaît aussi dans la fonction à intégrer à une constante près.

Que faire si du diffère d'une constante ?
Ce n'est pas grave. Si du = 3\,dx mais que l'intégrale ne contient que dx, écrivez dx = \frac{1}{3}du. Seul un écart d'une constante peut être corrigé ainsi, pas une variable manquante.

Faut-il changer les bornes lors d'un changement de variable ?
Oui. Pour une intégrale définie, soit on convertit les bornes avec u = g(a) et u = g(b), soit on revient à x avant d'utiliser les bornes d'origine. Il ne faut pas mélanger les deux.

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