Regla del producto para derivadas: fórmula, ejemplos y demostración
La regla del producto: la derivada de f·g es f'g + fg'. La fórmula, ejemplos resueltos, la versión con tres factores, una demostración breve y errores comunes.
Reglas de derivación Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Se aplica a
- Un producto de dos funciones derivables que dependen ambas de x
- En palabras
- Derivada de la primera por la segunda, más la primera por la derivada de la segunda
- Tres factores
- (fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'
- No hace falta cuando
- Uno de los factores es una constante (usa la regla del múltiplo constante)
- Versión para integrales
- Integración por partes
En esta página
La regla del producto indica cómo derivar dos funciones que se multiplican. La derivada de un producto no es el producto de las derivadas. En su lugar, derivas un factor cada vez y sumas los resultados.
Fórmula de la regla del producto
Si f y g son derivables, entonces
Una forma habitual de recordarla: derivada de la primera por la segunda, más la primera por la derivada de la segunda. De forma abreviada, (fg)' = f'g + fg'.
Con tres factores el patrón continúa, con un factor derivado en cada término:
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una potencia por una función trigonométrica. Sean f = x^2 y g = \sin x, así que f' = 2x y g' = \cos x:
Ejemplo 2: una potencia por una exponencial. Con f = x y g = e^x:
Ejemplo 3: un logaritmo. Con f = x y g = \ln x:
Ejemplo 4: dos polinomios, comprobado desarrollando. Para (3x + 1)(x^2 - 2):
Si desarrollas primero obtienes 3x^3 + x^2 - 6x - 2, cuya derivada también es 9x^2 + 2x - 6.
Ejemplo 5: tres factores. Para x\,e^x\sin x:
Cuándo usar la regla del producto
Úsala cuando dos (o más) factores dependen ambos de x:
| Expresión | ¿Usar la regla del producto? |
|---|---|
| x^3\cos x | Sí |
| e^x \ln x | Sí |
| 5\sin x | No, 5 es una constante: regla del múltiplo constante |
| \sin(x^2) | No, es una composición: regla de la cadena |
| \frac{x^2}{x + 1} | Usa la regla del cociente, o la regla del producto en x^2(x+1)^{-1} |
Muchas derivadas necesitan la regla del producto y la regla de la cadena a la vez. Para x^2 e^{3x}, la regla del producto separa los factores y la regla de la cadena se encarga de e^{3x}: el resultado es 2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}.
Por qué funciona la regla del producto
Parte de la definición de derivada como límite y suma y resta f(x+h)g(x) en el numerador:
Cuando h \to 0, f(x+h) \to f(x) porque las funciones derivables son continuas, y los dos cocientes incrementales se convierten en g'(x) y f'(x). Queda f(x)g'(x) + g(x)f'(x).
Imagina un rectángulo de lados f y g. Cuando ambos lados crecen un poco, el área gana una franja de tamaño f'g a lo largo de un lado y una franja de tamaño fg' a lo largo del otro.
Errores comunes
- Multiplicar las derivadas. \frac{d}{dx}\,x^2\sin x \ne 2x\cos x. Necesitas dos términos.
- Derivar ambos factores en el mismo término. Cada término tiene exactamente un factor derivado.
- Usarla con un múltiplo constante. Funciona, pero pierdes tiempo. \frac{d}{dx}\,4x^3 es simplemente 12x^2.
- Olvidar la regla de la cadena dentro de un factor. En x\sin(2x), la derivada de \sin(2x) es 2\cos(2x), así que la respuesta es \sin(2x) + 2x\cos(2x).
Integrar la regla del producto da lugar a la integración por partes. Para más ejemplos y una comparación lado a lado con la regla del cociente, lee la guía completa sobre las reglas del producto y del cociente.
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La regla del producto
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