Teorema de Clairaut: igualdad de las derivadas parciales cruzadas

El teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwarz, dice que para una función de dos variables con buen comportamiento, el orden en que calculas las derivadas parciales cruzadas no importa: derivar respecto de x y luego de y da el mismo resultado que derivar respecto de y y luego de x. Es la razón por la que una función tiene una sola matriz hessiana, y no dos.

Enunciado del teorema de Clairaut

Supongamos que f(x, y) está definida en un disco abierto D que contiene al punto (a, b). Si las derivadas parciales cruzadas f_{xy} y f_{yx} son ambas continuas en D, entonces

Notación: f_{xy} = (f_x)_y significa derivar primero respecto de x y después respecto de y. En la forma de Leibniz, f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}. El teorema se extiende a más variables y a órdenes superiores: con derivadas parciales continuas, solo importa cuántas veces aparece cada variable.

Qué significa el teorema de Clairaut

f_{xy} mide cómo cambia la pendiente en la dirección x de la superficie a medida que te mueves en la dirección y. f_{yx} mide cómo cambia la pendiente en la dirección y a medida que te mueves en la dirección x. Clairaut dice que estas dos "torsiones" de la superficie son el mismo número.

Toma f(x, y) = x^2 y. Al cortar la superficie con y fijo se obtienen las curvas y = 1: x^2, y = 2: 2x^2, y = 3: 3x^2.

Por qué importa la continuidad: el contraejemplo clásico

Define

A lo largo de los ejes, un cálculo directo a partir de la definición por límite da f_x(0, y) = -y y f_y(x, 0) = x. Por lo tanto

Las derivadas cruzadas no coinciden. Esto no contradice el teorema de Clairaut: f_{xy} y f_{yx} no son continuas en el origen, así que la hipótesis no se cumple.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: verifica Clairaut para f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy).

Paso 1. Derivadas parciales primeras:

Paso 2. Deriva f_x respecto de y (regla del producto en y\cos(xy)):

Paso 3. Deriva f_y respecto de x (regla del producto en x\cos(xy)):

Coinciden, tal como predice Clairaut para una función construida con polinomios y senos.

Ejemplo 2: elige el orden más fácil. Halla f_{xy} para f(x, y) = y e^{x^2} + x\ln(1 + y^4), en cualquier (x, y).

Derivar primero respecto de x obliga a aplicar la regla de la cadena en e^{x^2} y después en \ln(1 + y^4). En su lugar, usa f_{xy} = f_{yx}:

Todas las derivadas parciales son continuas en todas partes, así que f_{xy} = 2xe^{x^2} + \frac{4y^3}{1 + y^4}.

Ejemplo 3: una prueba de campo conservativo. Si \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle = \nabla f, entonces P = f_x y Q = f_y, así que Clairaut obliga a que P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x.

• \mathbf{F} = \langle 2xy,\; x^2 + 3y^2 \rangle: P_y = 2x = Q_x, compatible con un gradiente, y de hecho \mathbf{F} = \nabla(x^2 y + y^3).
• \mathbf{F} = \langle y,\; -x \rangle: P_y = 1 pero Q_x = -1, así que \mathbf{F} no es el gradiente de ninguna función.

Errores comunes

1. Leer la notación de Leibniz en el orden equivocado. \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} significa derivar primero respecto de x. Cuando Clairaut se aplica, el orden no importa, pero en el contraejemplo sí.
2. Suponer la igualdad sin continuidad. Las funciones definidas por partes, con un valor aparte en un punto, son justo donde Clairaut puede fallar.
3. Creer que P_y = Q_x por sí solo demuestra que un campo es conservativo. Es una condición necesaria; solo es suficiente en una región simplemente conexa, un detalle sutil ligado al teorema de Green.

Teoremas y guías relacionados

Para calcular derivadas parciales, consulta derivadas parciales. El teorema de Clairaut está detrás de la prueba del rotacional para campos conservativos que se usa con el teorema de Green y el teorema de Stokes, y hace que el desarrollo de Taylor en varias variables sea simétrico.