Teorema del Valor Medio para integrales: enunciado y ejemplos

El teorema del valor medio para integrales dice que una función continua alcanza su propio valor promedio al menos una vez. Si aplanas el área bajo la curva hasta convertirla en un rectángulo del mismo ancho, la altura de ese rectángulo es un valor que la función realmente toma.

Enunciado del teorema del valor medio para integrales

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un número c en [a, b] tal que

o, de forma equivalente,

La cantidad del lado derecho de la primera ecuación es el valor promedio de f en [a, b], que se escribe f_{\text{avg}}.

Qué significa el teorema

El área bajo y = f(x) de a a b es igual al área de un rectángulo con la misma base, b - a, y altura f_{\text{avg}}. El teorema dice que esa altura no es un número cualquiera: la curva pasa por ella. Imagina el agua de un tanque con la superficie ondulada. Cuando el agua se calma y queda plana, su nivel es la altura promedio, y la superficie ondulada original estaba a ese nivel en algún punto.

Por qué importa la continuidad

Sea f(x) = 0 para 0 \le x < 1 y f(x) = 1 para 1 \le x \le 2. Su integral sobre [0, 2] es 1, así que su valor promedio es \frac{1}{2}. Pero f solo toma los valores 0 y 1, nunca \frac{1}{2}. El salto en x = 1 permite que la función se salte su valor promedio. Con continuidad, el teorema del valor intermedio lo impide.

Por qué el teorema es cierto

Por el teorema del valor extremo, f tiene un mínimo m y un máximo M en [a, b]. Como m \le f(x) \le M,

Así que f_{\text{avg}} está entre dos valores que f alcanza, y el teorema del valor intermedio da un c con f(c) = f_{\text{avg}}.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: f(x) = x^2 en [0, 3].

Paso 1. Valor promedio: \frac{1}{3 - 0}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3.

Paso 2. Resuelve c^2 = 3, de modo que c = \pm\sqrt{3}.

Paso 3. Solo c = \sqrt{3} \approx 1.732 está en [0, 3].

Ejemplo 2: f(x) = \sin x en [0, \pi].

Paso 1. f_{\text{avg}} = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637.

Paso 2. Resuelve \sin c = \frac{2}{\pi}. En [0, \pi] hay dos soluciones:

El teorema promete al menos una; aquí hay dos.

Ejemplo 3: una función lineal. Para f(x) = 2x + 1 en [0, 4], \int_0^4 (2x + 1)\,dx = \big[x^2 + x\big]_0^4 = 20, así que f_{\text{avg}} = \frac{20}{4} = 5. Al resolver 2c + 1 = 5 se obtiene c = 2, el punto medio. Para cualquier función lineal, el valor promedio se alcanza en el punto medio.

Errores comunes

1. Olvidar dividir entre b - a. La integral es el área; el valor promedio es el área dividida entre el ancho.
2. Conservar soluciones fuera del intervalo. En el Ejemplo 1, hay que descartar c = -\sqrt{3}.
3. Confundirlo con el teorema del valor medio para derivadas. Ese teorema iguala f'(c) a la pendiente promedio de f. Este iguala f(c) al valor promedio de f.

Teoremas relacionados

Este teorema es el teorema del valor medio aplicado a F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, usando la primera parte del TFC para obtener F' = f y la segunda parte del TFC para evaluar la integral. Para saber más sobre las integrales como área acumulada, consulta las sumas de Riemann y la guía del Teorema Fundamental del Cálculo.