Aire entre deux courbes : haut moins bas, pas à pas

Vous savez calculer l'aire sous une courbe. Mais qu'en est-il de l'aire coincée entre une parabole et une droite, ou entre \sin x et \cos x ? L'idée est simple (on soustrait le bas du haut), et le vrai travail consiste à trouver où les courbes se rencontrent et à suivre laquelle est au-dessus.

La formule de l'aire entre deux courbes

Si f(x) \ge g(x) sur [a, b], l'aire du domaine compris entre elles est

En mots : haut moins bas, intégré de gauche à droite.

Pourquoi cela marche-t-il ? Découpez le domaine en fines bandes verticales. Chaque bande a une largeur dx et une hauteur égale à l'écart entre les courbes, f(x) - g(x). Additionner toutes les bandes, c'est exactement ce que fait l'intégrale. Peu importe que les courbes soient au-dessus ou en dessous de l'axe des x : l'écart reste l'écart.

Calculer l'aire entre deux courbes en 5 étapes

1. Esquissez les courbes, même grossièrement.
2. Trouvez les intersections en égalant les deux fonctions et en résolvant. Ce sont en général vos bornes.
3. Déterminez quelle courbe est au-dessus à l'aide d'un point test entre les intersections.
4. Posez \int_a^b (\text{haut} - \text{bas})\,dx.
5. Intégrez et évaluez avec le théorème fondamental de l'analyse.

Exemple corrigé 1 : une droite et une parabole

Trouvez l'aire entre y = x et y = x^2.

Étape 1. Intersections. On pose x = x^2, donc x^2 - x = 0, x(x - 1) = 0, ce qui donne x = 0 et x = 1.

Étape 2. Laquelle est au-dessus ? Testez x = \frac{1}{2} : la droite donne 0.5, la parabole donne 0.25. La droite est au-dessus.

Étape 3. Poser et intégrer.

Exemple corrigé 2 : une parabole tournée vers le bas et une droite

Trouvez l'aire du domaine délimité par y = 4 - x^2 et y = x + 2.

Étape 1. Intersections. On pose 4 - x^2 = x + 2 :

Étape 2. Laquelle est au-dessus ? Testez x = 0 : la parabole donne 4, la droite donne 2. La parabole est au-dessus.

Étape 3. Poser. On simplifie d'abord haut moins bas :

Étape 4. Intégrer.

En x = 1 : 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}.

En x = -2 : -4 - 2 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}.

Le graphique ci-dessous montre la même idée autrement. L'aire entre deux courbes est égale à l'aire sous leur différence f(x) - g(x), qui est ici la parabole y = 2 - x - x^2.

Exemple corrigé 3 : des courbes qui se croisent

Trouvez l'aire entre y = \sin x et y = \cos x de x = 0 à x = \frac{\pi}{2}.

Étape 1. Intersections. \sin x = \cos x quand \tan x = 1, donc x = \frac{\pi}{4} sur cet intervalle. Les courbes se croisent à l'intérieur de l'intervalle.

Étape 2. Laquelle est au-dessus, morceau par morceau ?

• Sur [0, \frac{\pi}{4}] : en x = 0, \cos 0 = 1 > \sin 0 = 0. Le cosinus est au-dessus.
• Sur [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}] : en x = \frac{\pi}{2}, \sin = 1 > \cos = 0. Le sinus est au-dessus.

Étape 3. Découper et intégrer.

Étape 4. Additionner.

Si vous aviez intégré \cos x - \sin x sur tout l'intervalle sans découper, les deux morceaux se seraient compensés et vous auriez obtenu 0, ce qui n'est clairement pas l'aire.

Astuce : une écriture compacte est A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx. La valeur absolue rappelle qu'il faut découper partout où les courbes se croisent.

Intégrer par rapport à y

Certains domaines se découpent mal verticalement. Si le domaine est délimité à gauche et à droite par des courbes de la forme x = h(y), découpez-le plutôt horizontalement :

où c et d sont des valeurs de y.

Exemple corrigé 4 : une parabole couchée et une droite

Trouvez l'aire entre x = y^2 et y = x - 2.

Étape 1. Écrire les deux courbes avec x en fonction de y. La parabole est x = y^2 et la droite est x = y + 2.

Étape 2. Intersections. y^2 = y + 2 donne y^2 - y - 2 = 0, donc (y - 2)(y + 1) = 0 et y = -1 ou y = 2.

Étape 3. Laquelle est à droite ? Testez y = 0 : la droite donne x = 2, la parabole donne x = 0. La droite est à droite.

Étape 4. Intégrer.

En y = 2 : 2 + 4 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}. En y = -1 : \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}.

En x, le bord inférieur change en x = 1 (on passe de -\sqrt{x} à la droite), il faudrait donc deux intégrales : \int_0^1 2\sqrt{x}\,dx + \int_1^4 (\sqrt{x} - x + 2)\,dx = \frac{4}{3} + \frac{19}{6} = \frac{9}{2}. Même réponse, deux fois plus de travail.

Aide-mémoire : dx ou dy ?

Les erreurs fréquentes sur l'aire entre deux courbes

1. Bas moins haut. Vous obtenez la bonne valeur avec le mauvais signe. Si une aire sort négative, c'est la première chose à vérifier.
2. Ne pas découper aux croisements. Les morceaux se compensent et la réponse est trop petite, parfois nulle.
3. Utiliser des bornes en x dans une intégrale en dy. Quand on intègre en y, les bornes doivent être les valeurs de y des points d'intersection.
4. Perdre un signe en simplifiant. (4 - x^2) - (x + 2) vaut 2 - x - x^2. Distribuez le signe moins sur chaque terme de la courbe du bas.
5. Deviner les bornes. Les bornes viennent de la résolution de f(x) = g(x), et non des points où les courbes coupent l'axe, sauf si l'énoncé le précise.

Entraînez-vous à calculer des aires entre courbes

Ces exercices suivent toujours les mêmes cinq étapes, et la difficulté est en général l'algèbre pour trouver les intersections. L'entraînement donne l'habitude de faire un croquis d'abord. La leçon interactive ci-dessous vérifie instantanément chaque mise en place et chaque réponse, pour que vous repériez un haut et un bas inversés avant que cela vous coûte des points. Ensuite, la même idée de découpage vous mène aux volumes de révolution.