Théorème fondamental de l'analyse : parties 1 et 2, exemples

Calculer l'aire sous y = x^2 avec des sommes de Riemann demande une page d'algèbre et une limite. Le théorème fondamental de l'analyse le fait en une ligne : \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}. C'est lui qui rend les intégrales utilisables en pratique, et il réunit les deux moitiés de l'analyse en une seule discipline.

Ce que dit le théorème fondamental de l'analyse

En langage courant : dériver et intégrer sont des opérations inverses. Le théorème comporte deux parties, une pour chaque sens.

Partie 1 (dérivée d'une intégrale). Si f est continue sur [a, b], alors la fonction aire g(x) = \int_a^x f(t)\,dt est dérivable et

Partie 2 (calcul des intégrales). Si f est continue sur [a, b] et si F est une primitive quelconque de f (donc F' = f), alors

On écrit F(b) - F(a) sous la forme abrégée \Big[F(x)\Big]_a^b.

La plupart des manuels les numérotent ainsi, mais quelques-uns inversent les numéros. L'important est de reconnaître la tâche que vous effectuez : calculer un nombre, ou dériver une intégrale.

Pourquoi ça marche : l'aire s'accumule à un rythme égal à la hauteur

Imaginez l'aire sous y = f(t) de a à x, et décalez x un tout petit peu vers la droite, de h. L'aire ajoutée est une fine bande de largeur h et de hauteur environ f(x), donc

Quand h \to 0, cela devient g'(x) = f(x) : la vitesse à laquelle l'aire augmente est la hauteur de la courbe. C'est la partie 1. La partie 2 en découle : g est une primitive de f, toute autre primitive F en diffère d'une constante, et \int_a^b f = g(b) - g(a) = F(b) - F(a).

Comment calculer une intégrale définie (partie 2)

1. Trouvez une primitive F(x). Laissez tomber le +C, il disparaît.
2. Calculez F(b), la borne du haut.
3. Calculez F(a), la borne du bas.
4. Soustrayez : F(b) - F(a).

Exemple corrigé 1 : un polynôme

Calculez \int_0^2 x^2\,dx.

Étape 1. Une primitive de x^2 est \frac{x^3}{3}.

Étape 2. F(2) = \frac{8}{3}.

Étape 3. F(0) = 0.

Étape 4.

C'est exactement la limite des sommes de Riemann calculée par la méthode longue, sans aucun symbole somme.

Exemple corrigé 2 : racines et constantes

Calculez \int_1^4 (3\sqrt{x} - 2)\,dx.

Étape 1. Écrivez 3\sqrt{x} = 3x^{1/2}. Sa primitive est 3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} = 2x^{3/2}, et une primitive de -2 est -2x. Donc F(x) = 2x^{3/2} - 2x.

Étape 2. F(4) = 2(4)^{3/2} - 2(4) = 2(8) - 8 = 8.

Étape 3. F(1) = 2(1) - 2(1) = 0.

Étape 4.

Exemple corrigé 3 : l'aire sous une arche de sinus

Calculez \int_0^{\pi} \sin x\,dx.

Étape 1. Une primitive de \sin x est -\cos x.

Étapes 2 à 4.

C'est sur les deux signes moins que la plupart des erreurs se produisent. Écrivez les crochets en entier, comme ci-dessus, à chaque fois.

Exemple corrigé 4 : un logarithme

Calculez \int_1^e \frac{1}{x}\,dx.

Exemple corrigé 5 : des exponentielles et une constante qui ne disparaît pas

Calculez \int_0^1 (e^x + 2x)\,dx.

Étape 1. Une primitive est F(x) = e^x + x^2.

Étape 2. F(1) = e + 1.

Étape 3. F(0) = e^0 + 0 = 1. Attention ici : e^0 vaut 1, pas 0, donc la borne du bas ne disparaît pas.

Étape 4.

Aire algébrique : quand l'intégrale est négative

Une intégrale définie compte positivement l'aire au-dessus de l'axe des x et négativement l'aire en dessous. Par exemple,

L'arche au-dessus de l'axe (aire 2) compense l'arche en dessous (aire 2). Si une question demande l'aire totale plutôt que l'intégrale, découpez aux zéros et additionnez les valeurs absolues : 2 + 2 = 4.

Exemple corrigé 6 : déplacement et distance parcourue

La même idée apparaît dans les problèmes de mouvement, où la partie 2 est souvent appelée théorème de la variation totale : intégrer un taux donne la variation totale. Une particule se déplace à la vitesse v(t) = 3t^2 - 6t m/s. Trouvez son déplacement et la distance totale parcourue de t = 0 à t = 3.

Étape 1. Déplacement. Une primitive de v est t^3 - 3t^2, donc

La particule finit là où elle a commencé.

Étape 2. Trouver où elle fait demi-tour. v(t) = 3t(t - 2) est négative sur (0, 2) et positive sur (2, 3).

Étape 3. Distance. Intégrez |v| en découpant en t = 2 :

Elle recule de 4 m puis avance de 4 m, donc la distance totale vaut 8 m alors que le déplacement vaut 0.

Dérivées d'intégrales (partie 1)

La partie 1 permet de dériver une intégrale sans la calculer, ce qui compte quand l'intégrande n'a pas de primitive simple.

Exemple corrigé 7 : x dans la borne supérieure

Trouvez \frac{d}{dx}\int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt.

Il n'existe pas de primitive simple de \sqrt{t^3 + 1}, et vous n'en avez pas besoin. D'après la partie 1, remplacez t par x :

La borne inférieure 1 n'a pas d'importance. La changer ne fait que décaler la fonction aire d'une constante.

Exemple corrigé 8 : une fonction dans la borne supérieure

Trouvez \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt.

Ici la borne supérieure est u = x^2, donc la dérivation en chaîne ajoute un facteur u' = 2x :

Vérification en calculant d'abord : \int_0^{x^2}\cos t\,dt = \sin(x^2) - \sin 0 = \sin(x^2), et \frac{d}{dx}\sin(x^2) = 2x\cos(x^2). Cela concorde.

La règle générale est

Exemple corrigé 9 : x dans la borne inférieure

Trouvez \frac{d}{dx}\int_x^3 e^{t^2}\,dt.

Étape 1. Échanger les bornes. Échanger les bornes change le signe : \int_x^3 e^{t^2}\,dt = -\int_3^x e^{t^2}\,dt.

Étape 2. Appliquer la partie 1.

Si les deux bornes dépendent de x, découpez l'intégrale en une constante : \frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f(v(x))\,v'(x) - f(u(x))\,u'(x).

Aide-mémoire

Les erreurs fréquentes avec le théorème fondamental

1. Soustraire dans le mauvais ordre. C'est F(\text{haut}) - F(\text{bas}). L'inverser change le signe de votre réponse.
2. Oublier les parenthèses avec les négatifs. Dans l'exemple 3, (-\cos\pi) - (-\cos 0) a besoin de chaque parenthèse. Écrire -\cos\pi - \cos 0 donne 0 au lieu de 2.
3. Oublier le facteur de la dérivation en chaîne. \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt vaut 2x\cos(x^2), et non \cos(x^2).
4. Intégrer alors que la partie 1 s'applique. Si la question demande la dérivée d'une intégrale, il est rarement nécessaire de trouver une primitive.
5. Confondre intégrale et aire totale. Si la courbe passe sous l'axe, \int_a^b f n'est pas l'aire. Découpez aux zéros.
6. L'appliquer à travers une discontinuité. \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx ne vaut pas \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^1 = -2. L'intégrande explose en 0, donc le théorème ne s'applique pas. C'est une intégrale impropre.

Entraînez-vous à calculer des intégrales

Une fois le théorème compris, chaque intégrale définie se réduit à une primitive et à un peu d'arithmétique soigneuse. La plupart des erreurs sont des erreurs de signe, donc la répétition avec un retour immédiat est le moyen le plus rapide de devenir fiable. La leçon interactive ci-dessous vérifie chaque réponse instantanément et montre le calcul complet des crochets dès qu'un signe s'égare. Pour des intégrandes plus difficiles, l'étape suivante est le changement de variable.