Approximation affine : estimer avec la tangente et les différentielles

Vous avez besoin de \sqrt{4.1}, de \sin(0.1) ou de l'erreur sur le volume d'une sphère mesurée, et vous n'avez pas de calculatrice (ou votre examen l'interdit). L'approximation affine ramène tout cela à une ligne de calcul en utilisant la tangente à la place de la courbe. C'est aussi l'idée derrière les estimations d'erreur en physique et en ingénierie.

Qu'est-ce que l'approximation affine ?

Zoomez suffisamment sur n'importe quelle courbe régulière, et elle finit par ressembler à une droite. Cette droite, c'est la tangente. L'approximation affine consiste à utiliser la tangente en un point a pour estimer la valeur de la fonction aux points voisins.

La tangente en x = a s'appelle la linéarisation de f en a :

et pour x proche de a,

Lisez la formule ainsi : on part de la hauteur connue f(a), puis on avance le long de la tangente de pente f'(a) sur une distance horizontale x - a.

Remarquez que la tangente est légèrement au-dessus de la courbe des deux côtés. Ce détail indique si votre estimation est trop grande ou trop petite ; nous y reviendrons plus bas.

Pourquoi la tangente donne une bonne estimation

La dérivée est définie comme une limite de taux d'accroissement :

Donc quand x est proche de a, le quotient \frac{f(x) - f(a)}{x - a} est proche de f'(a). Multipliez les deux membres par (x - a) et ajoutez f(a) : vous obtenez exactement f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a). L'approximation affine n'est rien d'autre que la définition de la dérivée lue à l'envers. Cette propriété des fonctions régulières, paraître droites de près, s'appelle la linéarité locale.

Cela explique aussi pourquoi l'estimation se dégrade quand on s'éloigne de a : le taux d'accroissement s'écarte de plus en plus de f'(a), et la courbe s'éloigne de la droite.

Faire une approximation affine en 4 étapes

1. Choisissez f. Déterminez de quelle fonction provient le nombre, par exemple f(x) = \sqrt{x} pour \sqrt{4.1}.
2. Choisissez un a proche où f(a) se calcule facilement et exactement. Pour les racines carrées, prenez un carré parfait ; en trigonométrie, un angle comme 0 ou \frac{\pi}{6}.
3. Calculez f(a) et f'(a) et écrivez L(x).
4. Remplacez par la valeur voulue.

Tout le savoir-faire est dans l'étape 2. Un bon choix de a rend le calcul trivial et garde l'erreur petite.

Exemple corrigé 1 : estimer la racine carrée de 4,1

Étape 1. Soit f(x) = \sqrt{x}. Alors f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Étape 2. Le carré parfait le plus proche de 4.1 est 4, donc a = 4.

Étape 3. f(4) = 2 et f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}. Donc

Étape 4. On remplace par x = 4.1 :

La vraie valeur est \sqrt{4.1} = 2.024846\ldots, donc l'estimation est fausse d'environ 0.00015. Pas mal pour du calcul mental.

Exemple corrigé 2 : estimer la racine cubique de 27,3

Étape 1. Soit f(x) = x^{1/3}, donc f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}.

Étape 2. 27 est un cube parfait proche de 27.3, donc a = 27.

Étape 3. f(27) = 3. Pour la pente, 27^{2/3} = 9, donc f'(27) = \frac{1}{3 \cdot 9} = \frac{1}{27}. La linéarisation est

Étape 4.

La vraie valeur est environ 3.01109. L'estimation est juste à quatre décimales près.

Exemple corrigé 3 : estimer sin(0,1) et e^0,1

Pour f(x) = \sin x en a = 0 : f(0) = 0 et f'(0) = \cos 0 = 1, donc L(x) = x. Par conséquent

La vraie valeur est 0.09983\ldots C'est la célèbre approximation des petits angles \sin x \approx x (avec x en radians), utilisée partout en physique, par exemple pour le pendule simple.

Pour f(x) = e^x en a = 0 : f(0) = 1 et f'(0) = 1, donc L(x) = 1 + x et

à comparer avec la vraie valeur 1.10517\ldots

Par excès ou par défaut ? Utilisez la convexité

La dérivée seconde indique de quel côté de la courbe se trouve la tangente :

• Si f''(a) < 0 (fonction concave), la courbe passe sous la tangente, donc L(x) est une estimation par excès.
• Si f''(a) > 0 (fonction convexe), la courbe passe au-dessus de la tangente, donc L(x) est une estimation par défaut.

Vérifions sur l'exemple 1 : f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2}, qui est négative en x = 4. Donc 2.025 doit être trop grand, et c'est bien le cas (2.025 > 2.02485). Pour e^x, la dérivée seconde est e^x > 0, donc 1.1 est trop petit, ce qui correspond à 1.1 < 1.10517.

Astuce : les sujets d'examen adorent demander « votre estimation est-elle par excès ou par défaut, et pourquoi ? ». La réponse porte toujours sur le signe de f'' au voisinage de a.

Différentielles : la même idée dans une autre notation

Notons dx une petite variation de x. La différentielle dy est la variation de hauteur le long de la tangente :

La vraie variation de la fonction est \Delta y = f(x + dx) - f(x). L'approximation affine dit que, pour dx petit,

C'est exactement la linéarisation réécrite : f(a + dx) \approx f(a) + f'(a)\,dx. Les différentielles sont surtout utiles quand la question porte sur une variation ou une erreur, plutôt que sur une valeur.

Exemple corrigé 4 : erreur sur le volume d'une sphère

Le rayon d'une sphère est mesuré à 10 cm, avec une erreur possible de \pm 0.1 cm. Estimez l'erreur maximale sur le volume calculé.

Étape 1. Écrire la formule. V = \frac{4}{3}\pi r^3.

Étape 2. Prendre la différentielle. dV = 4\pi r^2\,dr.

Étape 3. Remplacer par r = 10 et dr = 0.1 :

Étape 4. Erreur relative. Le volume vaut V = \frac{4}{3}\pi(1000) \approx 4188.8 cm³, donc

Une erreur de 1\% sur le rayon devient une erreur d'environ 3\% sur le volume. Le facteur 3 vient de l'exposant de r^3, un schéma à retenir.

Exemple corrigé 5 : comparer dy et la vraie variation

Un carré a pour côté s = 5 cm. Utilisez les différentielles pour estimer l'augmentation de son aire quand le côté passe à 5.02 cm, et comparez avec la variation exacte.

Étape 1. A = s^2, donc dA = 2s\,ds.

Étape 2. Avec s = 5 et ds = 0.02 : dA = 2(5)(0.02) = 0.2 cm².

Étape 3. Variation exacte. \Delta A = (5.02)^2 - 5^2 = 25.2004 - 25 = 0.2004 cm².

La différentielle ne rate que le minuscule carré du coin, (ds)^2 = 0.0004. Imaginez le carré qui grandit : deux fines bandes d'aire s\,ds chacune forment dA, et le petit morceau du coin est ce que l'estimation affine néglige. Ce reste est toujours de l'ordre de (ds)^2, c'est pourquoi l'approximation est si bonne pour de petites variations.

Mémo : approximations affines usuelles au voisinage de 0

Elles viennent toutes de L(x) = f(0) + f'(0)x et marchent le mieux pour x petit :

Les deux dernières sont la même règle. Par exemple, (1.02)^{10} \approx 1 + 10(0.02) = 1.2, proche de la vraie valeur 1.219.

Erreurs fréquentes avec l'approximation affine

1. Mal choisir a. Prendre a = 0 pour \sqrt{4.1} échoue, car \sqrt{x} n'est même pas dérivable en 0. Choisissez toujours un point proche où les valeurs sont exactes.
2. Remplacer x dans la pente. La pente est le nombre f'(a), pas la fonction f'(x). Dans l'exemple 1, la pente vaut \frac{1}{4}, point final.
3. Oublier le (x - a). Écrire L(4.1) = 2 + \frac{1}{4}(4.1) n'a aucun sens. On multiplie la pente par la distance à a, qui vaut 0.1.
4. Travailler en degrés en trigonométrie. \sin x \approx x ne marche qu'en radians. \sin(5^\circ) vaut environ 0.087, pas 5.
5. Lui faire confiance loin de a. La tangente s'écarte de la courbe quand on s'éloigne de a. \sqrt{9} \approx L(9) = 3.25 est nettement faux.

Pourquoi l'approximation affine compte

L'approximation affine est plus qu'une astuce pour les racines carrées. C'est grâce à elle que fonctionnent les calculatrices, les formules de physique et les méthodes numériques : la méthode de Newton utilise des tangentes de façon répétée pour résoudre des équations, et les polynômes de Taylor (voir les séries de Taylor) étendent l'idée des droites aux paraboles et au-delà. Elle est aussi liée au théorème des accroissements finis, qui garantit qu'une certaine tangente a exactement la pente moyenne.

Entraînez-vous à estimer avec la tangente

Les étapes sont toujours les mêmes : choisir f, choisir un a pratique, trouver f(a) et f'(a), puis remplacer. Une douzaine d'exercices suffit généralement pour que cela devienne automatique. La leçon interactive ci-dessous vous donne une correction immédiate pour chaque estimation et vous montre exactement où une pente ou une distance s'est trompée.