Séries de Taylor et de Maclaurin : formule, exemples, erreur

Votre calculatrice vous donne \sin(0.5) instantanément, pourtant \sin ne se calcule pas avec des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions. Les séries de Taylor permettent de transformer une fonction comme \sin x, e^x ou \ln x en un polynôme que l'on peut réellement évaluer, et on les retrouve partout, de la physique jusqu'à l'intérieur de cette calculatrice.

Ce guide vous donne les formules de Taylor et de Maclaurin, les quatre séries à retenir, comment construire de nouvelles séries sans calculer de dérivées, et comment majorer l'erreur quand on s'arrête après quelques termes.

Qu'est-ce qu'une série de Taylor ?

Une série de Taylor réécrit une fonction comme un polynôme infini centré en un point a. Les coefficients viennent des dérivées de f en a :

Une série de Maclaurin est le cas particulier a = 0 :

L'idée est simple. Le premier terme reproduit la valeur de f en a. Ajouter le deuxième terme reproduit aussi la pente, ce qui donne la tangente de l'approximation affine. Le troisième terme reproduit la convexité, et ainsi de suite. Chaque nouveau terme copie une dérivée de plus.

Si l'on s'arrête après le terme en (x-a)^n, on obtient le polynôme de Taylor de degré n, noté T_n(x).

Trouver une série de Taylor pas à pas

1. Calculez f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), \dots jusqu'à voir apparaître un schéma.
2. Divisez la valeur de la dérivée n-ième par n! pour obtenir le coefficient c_n.
3. Écrivez la série \sum c_n (x-a)^n, en utilisant le schéma pour le terme général.
4. Si on vous le demande, trouvez l'intervalle de convergence avec le critère de d'Alembert, comme dans notre guide sur les séries entières.

Exemple corrigé 1 : la série de Maclaurin de e^x

Étape 1. Calculer les dérivées. Toutes les dérivées de e^x valent e^x, donc f^{(n)}(0) = e^0 = 1 pour tout n.

Étape 2. Construire les coefficients. c_n = \frac{1}{n!}.

Étape 3. Écrire la série.

Le critère de d'Alembert donne \frac{|x|}{n+1} \to 0, donc cela marche pour tout réel x. En remplaçant x = 1, on obtient une façon rapide de calculer e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots \approx 2.718.

Exemple corrigé 2 : la série de Maclaurin de sin x

Étape 1. Calculer les dérivées et les évaluer en 0.

Les valeurs se répètent indéfiniment selon le cycle 0, 1, 0, -1.

Étape 2. Ne garder que les termes non nuls. Les puissances paires disparaissent. Les puissances impaires alternent de signe, avec n! au dénominateur.

Étape 3. Écrire la série.

Les mêmes étapes pour \cos x donnent les puissances paires :

Une vérification rapide : \sin x est impaire et sa série n'a que des puissances impaires. \cos x est paire et sa série n'a que des puissances paires.

Voici à quoi ressemblent les polynômes de Taylor de \sin x. Chaque terme supplémentaire épouse la courbe sur une portion plus large.

Exemple corrigé 3 : une série de Taylor centrée en a = 1

Trouvez la série de Taylor de f(x) = \ln x centrée en a = 1.

Étape 1. Calculer les dérivées.

Le schéma pour n \ge 1 est f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}.

Étape 2. Évaluer en a = 1. f(1) = 0 et f^{(n)}(1) = (-1)^{n-1}(n-1)! pour n \ge 1.

Étape 3. Diviser par n!. Comme \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}, le coefficient est c_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}.

Étape 4. Écrire la série.

Elle converge pour 0 < x \le 2.

Les quatre séries de Maclaurin à retenir

Avec ces quatre séries en poche, vous pouvez éviter les dérivées pour la plupart des questions d'examen.

Exemple corrigé 4 : construire de nouvelles séries à partir des quatre

On peut substituer, multiplier, dériver et intégrer les séries terme à terme, à l'intérieur de leur intervalle de convergence.

Substituer. Pour e^{-x^2}, remplacez x par -x^2 dans la série de e^x :

Multiplier. Pour x\cos x, multipliez chaque terme de la série du cosinus par x :

Intégrer. Remplacez x par -x^2 dans \frac{1}{1-x} pour obtenir

Comme \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \arctan x, on intègre terme à terme :

Chacune de ces séries aurait demandé de nombreuses dérivées pour être obtenue directement.

Les polynômes de Taylor comme approximations

On a rarement besoin de toute la série infinie. Quelques termes donnent déjà une excellente approximation près du centre, c'est pourquoi les physiciens remplacent \sin\theta par \theta pour un pendule de faible amplitude, et \cos\theta par 1 - \frac{\theta^2}{2}.

Par exemple, T_2 pour \cos x en 0 donne \cos(0.2) \approx 1 - \frac{0.04}{2} = 0.98. La vraie valeur est 0.980067 : deux termes suffisent déjà pour être juste à quatre décimales près. Plus on s'éloigne du centre, plus il faut de termes pour la même précision, et la majoration du reste ci-dessous vous dit exactement combien.

Le reste de Taylor : quelle est la taille de l'erreur ?

Quand on remplace f par T_n, l'erreur est le reste R_n(x) = f(x) - T_n(x). L'inégalité de Taylor-Lagrange le majore :

où M est un nombre tel que |f^{(n+1)}(t)| \le M pour tout t entre a et x.

Lisez-la ainsi : l'erreur est contrôlée par la dérivée suivante, la factorielle suivante et la distance au centre. Être proche de a et utiliser plus de termes la réduisent tous les deux.

Exemple corrigé 5 : estimer sin(0,5) avec une majoration de l'erreur

Estimez \sin(0.5) avec T_3 et majorez l'erreur.

Étape 1. Évaluer le polynôme.

Étape 2. Trouver M. La dérivée quatrième de \sin x est \sin x, et |\sin t| \le 1, donc M = 1.

Étape 3. Appliquer la majoration avec n = 3.

Donc \sin(0.5) est à moins de 0.0026 de 0.47917. La vraie valeur est 0.47943, et l'erreur réelle vaut environ 0.00026, bien en dessous de la majoration.

Astuce : pour \sin x, le coefficient de x^4 est nul, donc T_3 = T_4. Utiliser n = 4 dans la majoration donne \frac{(0.5)^5}{5!} \approx 0.00026, une estimation bien plus fine.

Comme cette série est alternée à termes décroissants, la majoration des séries alternées donne la même réponse fine : l'erreur est au plus le premier terme négligé, \frac{(0.5)^5}{120}.

Erreurs fréquentes avec les séries de Taylor

1. Oublier la factorielle. Le coefficient est \frac{f^{(n)}(a)}{n!}, et pas seulement f^{(n)}(a).
2. Utiliser des puissances de x quand a \ne 0. Une série centrée en 1 s'écrit en puissances de (x - 1).
3. Confondre sinus et cosinus. Le sinus est impair et commence par x. Le cosinus est pair et commence par 1.
4. Calculer des dérivées quand une substitution suffit. Pour e^{3x}, remplacez simplement x par 3x dans la série de e^x.
5. Ignorer l'intervalle de convergence. La série de \frac{1}{1-x} ne sert à rien en x = 2.
6. Utiliser la mauvaise dérivée dans la majoration. La majoration pour T_n demande une borne sur f^{(n+1)}, une dérivée de plus que le dernier terme gardé.

L'entraînement transforme les formules en réflexes

Une fois les quatre séries mémorisées et quelques séries construites par substitution, les séries de Taylor ne ressemblent plus à un mur de factorielles. La leçon interactive ci-dessous vous propose des séries à construire et des approximations à vérifier, avec une correction immédiate de chaque coefficient pour voir exactement quel terme s'est trompé.