Primitives : puissance inversée, +C et conditions initiales

Vous savez dériver x^3 les yeux fermés. Maintenant la question se pose à l'envers : quelle fonction a pour dérivée 3x^2 ? Cette question inverse est le point de départ du calcul intégral, et ses réponses, appelées primitives, s'obtiennent en appliquant à l'envers les règles de dérivation que vous connaissez déjà.

Qu'est-ce qu'une primitive ?

Une fonction F est une primitive de f si

Par exemple, F(x) = x^3 est une primitive de f(x) = 3x^2, car \frac{d}{dx}x^3 = 3x^2.

Mais x^3 + 1 et x^3 - 8 conviennent aussi. Toute constante disparaît quand on dérive. On écrit donc l'intégrale indéfinie, qui rassemble toutes les primitives d'un coup :

Le signe \int et le dx vont ensemble comme des parenthèses : dx indique que la variable est x, et ce qui se trouve entre les deux est la fonction dont on cherche une primitive (l'intégrande).

Pourquoi ajoute-t-on +C ?

Si F'(x) = f(x), alors (F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x) pour toute constante C. Une primitive en donne donc une infinité, toutes décalées verticalement les unes des autres. (Le théorème des accroissements finis prouve que sur un intervalle il n'y en a pas d'autres : deux fonctions de même dérivée diffèrent d'une constante.)

Oublier le +C n'est pas un petit détail de présentation. Cela veut dire que vous n'avez trouvé qu'un seul membre de la famille, et dans un problème avec condition initiale, cela rend la bonne réponse impossible à obtenir.

La règle de la puissance inversée

La règle de la puissance dit que \frac{d}{dx}x^{n+1} = (n+1)x^n. Divisez les deux membres par n + 1 et lisez à l'envers :

En mots : on ajoute un à l'exposant, puis on divise par le nouvel exposant.

La règle ne marche plus pour n = -1, car on diviserait par zéro. Ce cas a sa propre réponse :

La valeur absolue permet que cela fonctionne aussi pour x négatif.

Deux autres règles rendent la plupart des exercices routiniers. Les constantes se factorisent, et les sommes se séparent :

Tableau des primitives usuelles

Chaque ligne est une règle de dérivation lue à l'envers. Vérifiez n'importe quelle ligne en dérivant le membre de droite.

Attention aux signes sur les lignes trigonométriques. La dérivée de \cos x est -\sin x, donc une primitive de \sin x est -\cos x.

Exemple corrigé 1 : un polynôme

Calculez \int (3x^2 - 4x + 5)\,dx.

Étape 1. Séparer les termes. On intègre 3x^2, -4x et 5 séparément.

Étape 2. Règle de la puissance inversée sur chacun.

• \int 3x^2\,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3
• \int -4x\,dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2
• \int 5\,dx = 5x

Étape 3. Ajouter une seule constante.

Vérification : \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + 5x + C) = 3x^2 - 4x + 5. Un seul +C à la fin suffit, puisque plusieurs constantes s'additionnent en une seule constante.

Exemple corrigé 2 : racines et fractions

Calculez \int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx.

Étape 1. Réécrire sous forme de puissances. \sqrt{x} = x^{1/2} et \frac{1}{x^2} = x^{-2}.

Étape 2. Règle de la puissance inversée.

• \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}
• \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}

Étape 3. Regrouper.

Diviser par une fraction comme \frac{3}{2} revient à multiplier par \frac{2}{3}. C'est une étape où beaucoup d'élèves trébuchent.

Exemple corrigé 3 : simplifier d'abord

Calculez \int \frac{x^2 + 1}{x}\,dx.

Il n'existe pas de règle du quotient pour les intégrales, donc simplifiez avant d'intégrer. Divisez chaque terme par x :

Intégrez ensuite terme à terme :

Exemple corrigé 4 : trigonométrie et exponentielles

Calculez \int (2\cos x - 3e^x)\,dx.

D'après le tableau, \int \cos x\,dx = \sin x et \int e^x\,dx = e^x :

Vérification : \frac{d}{dx}(2\sin x - 3e^x) = 2\cos x - 3e^x.

Deux autres lignes du tableau en action : calculez \int \left(\frac{4}{1 + x^2} + \sec^2 x\right) dx. Chaque terme est une ligne du tableau avec une constante devant :

Comment vérifier n'importe quelle primitive

Intégrer est difficile ; dériver est facile. Chaque primitive s'accompagne donc d'une vérification gratuite : dérivez votre réponse et regardez si vous retrouvez l'intégrande. Si \frac{d}{dx}F(x) = f(x), vous avez juste, quelle que soit la méthode utilisée.

Cela attrape presque toutes les erreurs. Supposons que vous ayez écrit \int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} puis simplifié en \frac{1}{2}\sqrt{x}. En dérivant, on obtient \frac{1}{4}x^{-1/2}, qui n'est pas x^{-1/2} : vous savez donc qu'il y a une erreur (la bonne réponse est 2\sqrt{x} + C). Faites de cette vérification une habitude à chaque exercice, jusqu'à ce que les règles deviennent automatiques.

Problèmes avec condition initiale : trouver le C exact

Un problème avec condition initiale vous donne une dérivée et un point de la fonction de départ. Ce point sélectionne exactement une courbe dans la famille F(x) + C.

Exemple corrigé 5 : trouver f à partir de f' et d'un point

Trouvez f(x) sachant que f'(x) = 6x^2 - 2x et f(1) = 4.

Étape 1. Chercher une primitive.

Étape 2. Utiliser le point. On remplace x = 1 et f(1) = 4 :

Étape 3. Écrire la réponse.

Exemple corrigé 6 : le mouvement à partir de l'accélération

Une balle est lancée verticalement vers le haut depuis le sol à 48 ft/s (pieds par seconde). Son accélération est a(t) = -32 ft/s². Trouvez sa hauteur s(t) et sa hauteur maximale.

Étape 1. Vitesse. v(t) = \int -32\,dt = -32t + C_1. Au lancer, v(0) = 48, donc C_1 = 48 et v(t) = -32t + 48.

Étape 2. Position. s(t) = \int (-32t + 48)\,dt = -16t^2 + 48t + C_2. Elle part du sol, s(0) = 0, donc C_2 = 0 :

Étape 3. Hauteur maximale. La balle atteint son sommet quand v(t) = 0, à t = 1.5 s. Alors s(1.5) = -16(2.25) + 72 = 36 ft.

Chaque primitive a demandé sa propre constante, et chacune a été fixée par sa propre condition initiale.

Exemple corrigé 7 : partir de la dérivée seconde

Trouvez f(x) sachant que f''(x) = 12x, f'(0) = 1 et f(0) = 2.

Étape 1. f'(x) = 6x^2 + C_1. Comme f'(0) = 1, C_1 = 1, donc f'(x) = 6x^2 + 1.

Étape 2. f(x) = 2x^3 + x + C_2. Comme f(0) = 2, C_2 = 2.

Vérification : f'(x) = 6x^2 + 1 et f''(x) = 12x, avec f'(0) = 1 et f(0) = 2. Deux intégrations demandent toujours deux conditions.

Les erreurs fréquentes sur les primitives

1. Oublier le +C. Cela coûte des points sur les intégrales indéfinies et fait échouer les problèmes avec condition initiale.
2. Appliquer la règle de la puissance inversée à \frac{1}{x}. \frac{x^0}{0} n'est pas défini. La réponse est \ln|x| + C.
3. Intégrer les produits ou les quotients morceau par morceau. \int x \cdot x^2\,dx n'est pas \frac{x^2}{2}\cdot\frac{x^3}{3}. Développez d'abord pour obtenir \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C.
4. Les erreurs de signe en trigonométrie. \int \sin x\,dx = -\cos x + C, et non \cos x + C.
5. Ne pas réécrire les racines et les fractions. \int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx paraît difficile jusqu'à ce qu'on l'écrive \int x^{-1/2}\,dx = 2\sqrt{x} + C.

Quand l'intégrande est une fonction composée, comme (3x + 1)^5, le tableau de base ne suffit plus. C'est le rôle du changement de variable. Et les primitives sont exactement ce qu'il faut pour calculer des aires avec le théorème fondamental de l'analyse.

Entraînez-vous jusqu'à l'automatisme

Les primitives sont la base de toutes les intégrales que vous calculerez, donc la rapidité acquise ici sert pendant tout le reste du cours. Faites la leçon interactive ci-dessous : chaque réponse est vérifiée instantanément, les constantes oubliées sont signalées et chaque solution est détaillée pas à pas.