Dérivée de x puissance n : la règle de la puissance et exemples
La règle de la puissance : exposants négatifs et fractionnaires, réécriture des racines et des fractions, règles de la somme et du facteur constant.
Par l'équipe PracticeCalculus Publié Lecture : 8 min
Sur cette page
- Qu'est-ce que la règle de la puissance ?
- Pourquoi la règle de la puissance fonctionne
- Les règles de la constante, du facteur constant et de la somme
- Exemple corrigé 1 : un polynôme
- Exposants négatifs : réécrire les fractions
- Exposants fractionnaires : réécrire les racines
- Exemple corrigé 5 : simplifier avant de dériver
- Tout combiner
- Exemple corrigé 6 : une tangente
- Dérivées successives avec la règle de la puissance
- La règle de la puissance comme taux de variation
- Erreurs fréquentes avec la règle de la puissance
- Mémo
- Entraînez-vous jusqu'à l'automatisme
Calculer des dérivées avec la définition par la limite demande une page de calculs pour chaque fonction. La règle de la puissance remplace tout cela par un raccourci d'une ligne et, combinée à deux règles complémentaires simples, elle permet de dériver en quelques secondes n'importe quel polynôme, racine ou puissance de x. C'est la première règle qu'on apprend et celle qu'on utilise le plus.
Qu'est-ce que la règle de la puissance ?
La règle de la puissance donne la dérivée de x élevé à une puissance constante :
En mots : on descend l'exposant devant, puis on retire un à l'exposant.
La règle marche pour tout nombre réel n : entiers positifs, nombres négatifs et fractions. La seule condition est que la variable soit dans la base et que l'exposant soit une constante.
Pourquoi la règle de la puissance fonctionne
Pour un entier positif n, on voit apparaître le schéma à partir de la définition de la dérivée par la limite. Le développement de (x + h)^n donne
Donc
et quand h \to 0, tout disparaît sauf n x^{n-1}. C'est la règle de la puissance. Pour n = 2, c'est exactement le calcul bien connu (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2, qui donne 2x. La démonstration pour les exposants négatifs et fractionnaires utilise d'autres outils, mais la règle reste la même.
Les règles de la constante, du facteur constant et de la somme
La règle de la puissance apparaît rarement seule. Trois règles complémentaires permettent de la combiner avec des coefficients et plusieurs termes.
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Règle de la constante | \frac{d}{dx} c = 0 | \frac{d}{dx} 7 = 0 |
| Règle du facteur constant | \frac{d}{dx} [c f(x)] = c f'(x) | \frac{d}{dx} 4x^3 = 12x^2 |
| Règle de la somme et de la différence | \frac{d}{dx} [f \pm g] = f' \pm g' | \frac{d}{dx} (x^2 + x) = 2x + 1 |
La règle de la constante dit qu'une droite horizontale a une pente 0. La règle du facteur constant dit qu'étirer une courbe verticalement d'un facteur c multiplie chaque pente par c. La règle de la somme dit qu'on peut dériver un polynôme terme à terme.
Exemple corrigé 1 : un polynôme
Dérivez f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2.
Étape 1. Séparer les termes. D'après la règle de la somme, on dérive chaque terme séparément.
Étape 2. Appliquer la règle de la puissance avec les facteurs constants.
- 3x^4 \to 3 \cdot 4x^3 = 12x^3
- -5x^2 \to -5 \cdot 2x = -10x
- 7x \to 7 \cdot 1 = 7
- -2 \to 0
Étape 3. Rassembler.
Exposants négatifs : réécrire les fractions
Une puissance de x au dénominateur est un exposant négatif déguisé :
Réécrivez d'abord, puis appliquez la règle de la puissance. Faites très attention en retirant un : l'exposant devient plus négatif.
Exemple corrigé 2 : une fraction avec un coefficient
Dérivez y = \frac{4}{x^3}.
Étape 1. Réécrire sous forme de puissance. y = 4x^{-3}.
Étape 2. Appliquer la règle de la puissance. On descend -3 et on retire un : -3 - 1 = -4.
Étape 3. Réécrire sans exposant négatif (facultatif, mais généralement attendu).
Un cas particulier à retenir : \frac{d}{dx} \frac{1}{x} = \frac{d}{dx} x^{-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}, le même résultat que celui de la définition par la limite.
Astuce : regardez bien où se trouve le coefficient. \frac{1}{3x^2} vaut \frac{1}{3}x^{-2}, mais \frac{3}{x^2} vaut 3x^{-2}. Seule la puissance de x remonte au numérateur avec un exposant négatif.
Exposants fractionnaires : réécrire les racines
Les racines sont des puissances fractionnaires :
Exemple corrigé 3 : une racine carrée
Dérivez y = \sqrt{x}.
Étape 1. Réécrire. y = x^{1/2}.
Étape 2. Appliquer la règle de la puissance. \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}, donc
Exemple corrigé 4 : la racine d'une puissance
Dérivez y = \sqrt[3]{x^2}.
Étape 1. Réécrire. y = x^{2/3}.
Étape 2. Appliquer la règle de la puissance. \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}, donc
Remarquez que la dérivée n'est pas définie en x = 0. La courbe de x^{2/3} y présente un point de rebroussement.
Exemple corrigé 5 : simplifier avant de dériver
Dérivez y = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x}}.
On pourrait utiliser la règle du quotient, mais séparer la fraction est plus rapide.
Étape 1. Séparer en termes distincts.
Étape 2. Soustraire les exposants. x^{2 - 1/2} = x^{3/2}, donc
Étape 3. Appliquer la règle de la puissance à chaque terme.
Étape 4. Réécrire avec des racines (facultatif).
La même astuce marche pour les produits : développez (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1, puis dérivez pour obtenir 8x + 4.
Tout combiner
Dérivez y = 6\sqrt[3]{x^5} - \frac{2}{x} + 9.
Étape 1. Réécrire chaque terme comme une puissance de x.
Étape 2. Appliquer la règle de la puissance terme à terme. Pour le premier terme, \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}. Pour le deuxième, -1 - 1 = -2. La constante 9 devient 0.
Étape 3. Réécrire avec des racines et des fractions.
Remarquez comment les deux signes moins du terme du milieu se sont combinés en un plus. Une fois la règle elle-même maîtrisée, ce sont surtout ces erreurs de signe qu'il faut surveiller.
Exemple corrigé 6 : une tangente
Trouvez l'équation de la tangente à y = x^3 en x = 2.
Étape 1. Trouver le point. y(2) = 2^3 = 8, donc le point est (2, 8).
Étape 2. Trouver la pente. \frac{dy}{dx} = 3x^2, donc la pente en x = 2 vaut 3(2)^2 = 12.
Étape 3. Utiliser la forme point-pente.
Dérivées successives avec la règle de la puissance
Comme la dérivée d'un polynôme est un autre polynôme, on peut appliquer la règle de la puissance encore et encore. La dérivée seconde f''(x) est la dérivée de f'(x), et elle mesure comment la pente elle-même varie (la convexité).
Exemple corrigé 7 : dérivées première, seconde et troisième
Trouvez f', f'' et f''' pour f(x) = 2x^5 - x^3 + 4x.
Étape 1. Dérivée première. On applique la règle de la puissance terme à terme :
Étape 2. Dérivée seconde. On dérive f'. La constante 4 disparaît :
Étape 3. Dérivée troisième.
Chaque étape diminue chaque exposant de un, donc un polynôme de degré n devient 0 après n + 1 dérivations.
La règle de la puissance comme taux de variation
Les dérivées sont des taux, donc la règle de la puissance transforme instantanément une formule de position en formule de vitesse. Supposons que la hauteur d'une balle, en mètres, après t secondes soit
La variable est t au lieu de x, mais la règle est la même. La vitesse est
et l'accélération est a(t) = v'(t) = -10 mètres par seconde au carré. Poser v(t) = 0 donne t = 2, l'instant où la balle cesse de monter, à une hauteur de s(2) = -20 + 40 + 2 = 22 mètres. Toutes ces réponses viennent de la règle de la puissance et de rien d'autre.
Erreurs fréquentes avec la règle de la puissance
- Mal retirer un avec les exposants négatifs. \frac{d}{dx} x^{-3} = -3x^{-4}. Passer de -3 à -2 est l'erreur la plus fréquente.
- Dériver une fraction morceau par morceau. \frac{d}{dx} \frac{1}{x^3} ne vaut pas \frac{1}{3x^2}. Réécrivez d'abord en x^{-3}.
- Oublier que les constantes deviennent 0. La dérivée de -2, \pi^2 ou e^3 vaut 0, pas la constante elle-même.
- Appliquer la règle de la puissance aux exponentielles. \frac{d}{dx} 2^x ne vaut pas x \cdot 2^{x-1}. La variable est en exposant, donc la règle de la puissance ne s'applique pas.
- L'utiliser sur une puissance d'autre chose que x. \frac{d}{dx} (3x+1)^5 demande la règle de dérivation en chaîne, qui ajoute un facteur 3.
- Déplacer un coefficient avec la puissance. \frac{5}{x^2} = 5x^{-2}, et non 5^{-1}x^{-2}.
Mémo
| Fonction | Réécrire en | Dérivée |
|---|---|---|
| x^n | x^n | n x^{n-1} |
| c (constante) | 0 | |
| x | x^1 | 1 |
| \frac{1}{x} | x^{-1} | -\frac{1}{x^2} |
| \frac{1}{x^2} | x^{-2} | -\frac{2}{x^3} |
| \sqrt{x} | x^{1/2} | \frac{1}{2\sqrt{x}} |
| \sqrt[3]{x} | x^{1/3} | \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} |
| x\sqrt{x} | x^{3/2} | \frac{3}{2}\sqrt{x} |
Entraînez-vous jusqu'à l'automatisme
La règle de la puissance elle-même est facile. Ce qui demande de l'entraînement, c'est la réécriture : transformer les racines et les fractions en puissances, et manier les exposants négatifs et fractionnaires sans se tromper. La leçon interactive ci-dessous vous propose un flux régulier d'exercices, vérifie chaque réponse instantanément et vous montre exactement quel exposant s'est trompé. Une courte séance aujourd'hui rendra chaque dérivée suivante plus rapide.
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