Continuité d'une fonction : définition, discontinuités et TVI
Les trois conditions de la continuité, comment classer les discontinuités (trou, saut, asymptote) et comment utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Par l'équipe PracticeCalculus Publié Lecture : 8 min
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De façon intuitive, une fonction continue est une fonction qu'on peut tracer sans lever le crayon. C'est une très bonne image de départ, mais les sujets d'examen vous demandent de démontrer la continuité, de trouver la valeur de k qui rend une fonction continue, ou de classer une discontinuité selon son type. Pour cela il faut la définition précise, et elle se résume à trois vérifications rapides.
La définition de la continuité : trois conditions
Une fonction f est continue en x = a quand les trois conditions suivantes sont réunies :
- f(a) est définie.
- \lim_{x \to a} f(x) existe (les limites à gauche et à droite coïncident).
- La limite est égale à la valeur de la fonction :
En langage courant : la courbe se dirige vers une certaine hauteur quand on s'approche de a, et le point d'abscisse a se trouve exactement à cette hauteur.
Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de l'intervalle (avec des limites à gauche ou à droite aux bornes fermées). On dit simplement qu'une fonction est continue quand elle est continue en tout point de son domaine de définition.
Quelles fonctions sont continues ?
La bonne nouvelle, c'est que presque toutes les fonctions que vous connaissez sont continues partout où elles sont définies :
- les polynômes, partout
- les fonctions rationnelles, partout sauf là où le dénominateur vaut 0
- \sqrt{x} pour x \ge 0, et les autres racines sur leur domaine
- \sin x et \cos x partout ; \tan x sauf aux multiples impairs de \frac{\pi}{2}
- e^x partout, et \ln x pour x > 0
Les sommes, différences, produits, quotients (là où le dénominateur ne vaut pas 0) et composées de fonctions continues sont aussi continues. En pratique, les discontinuités ne se trouvent donc qu'à quelques endroits : les zéros des dénominateurs, les points de raccordement des fonctions définies par morceaux, et les bords des domaines de définition.
Les types de discontinuité
Quand l'une des trois conditions échoue, la façon dont elle échoue indique le type de discontinuité.
| Type | Ce que montre la courbe | Limite en a | Condition qui échoue |
|---|---|---|---|
| Effaçable | Un trou (avec parfois un point isolé ailleurs) | Existe | 1 ou 3 |
| Saut | La courbe saute entre deux hauteurs | N'existe pas (les côtés diffèrent) | 2 |
| Infinie | Une asymptote verticale | N'existe pas (non bornée) | 2 |
| Oscillante | Des oscillations sans fin, comme \sin(1/x) en 0 | N'existe pas | 2 |
Les discontinuités effaçables sont les seules qu'on peut réparer en changeant un seul point. Les autres sont dites non effaçables (ou essentielles, dans certains livres).
Discontinuité effaçable et discontinuité infinie sur une même courbe
Considérons
Factorisez le numérateur et le dénominateur :
Le dénominateur vaut 0 en x = 2 et en x = -1, donc f est discontinue en ces deux points. Mais ce ne sont pas les mêmes types.
- En x = 2, le facteur (x - 2) se simplifie. Pour x \neq 2, f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}, donc \lim_{x \to 2} f(x) = \frac{4}{3}. La limite existe mais f(2) n'existe pas : c'est une discontinuité effaçable, un trou en \left(2, \frac{4}{3}\right).
- En x = -1, le facteur (x + 1) reste au dénominateur tandis que le numérateur x + 2 tend vers 1, une valeur non nulle. La fonction explose : c'est une discontinuité infinie, une asymptote verticale x = -1.
Astuce : pour une fonction rationnelle, factorisez complètement. Les facteurs qui se simplifient donnent des trous. Les facteurs qui restent au dénominateur donnent des asymptotes verticales.
Les discontinuités de saut
Les sauts viennent des fonctions définies par morceaux (et d'expressions comme \frac{|x|}{x}). En voici une :
La limite à gauche en 1 vaut 1^2 = 1 et la limite à droite vaut 1 + 2 = 3. Les deux existent, mais elles diffèrent, donc la courbe saute de la hauteur 1 à la hauteur 3.
Exemples corrigés
Exemple 1 : vérifier les trois conditions
La fonction h(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & x \neq 3 \\ 5 & x = 3 \end{cases} est-elle continue en x = 3 ?
Étape 1. h(3) est-elle définie ? Oui, h(3) = 5.
Étape 2. La limite existe-t-elle ? Pour x \neq 3, \frac{x^2-9}{x-3} = x + 3, donc \lim_{x \to 3} h(x) = 6.
Étape 3. Sont-elles égales ? 6 \neq 5. La condition 3 échoue.
Conclusion. h présente une discontinuité effaçable en x = 3. Redéfinir h(3) = 6 la rendrait continue.
Exemple 2 : trouver k pour rendre continue une fonction définie par morceaux
Trouvez k pour que f(x) = \begin{cases} kx + 1 & x < 2 \\ x^2 & x \geq 2 \end{cases} soit continue partout.
Étape 1. Repérer le seul point à risque. Chaque morceau est un polynôme, donc le seul problème possible est le raccordement en x = 2.
Étape 2. Calculer chaque côté. À gauche : \lim_{x \to 2^-} (kx + 1) = 2k + 1. À droite : \lim_{x \to 2^+} x^2 = 4. Valeur de la fonction : f(2) = 4.
Étape 3. Égaler et résoudre.
Vérification. Avec k = \frac{3}{2}, le morceau de gauche donne \frac{3}{2}(2) + 1 = 4. Les deux côtés se rejoignent à la hauteur 4.
Exemple 3 : classer une discontinuité
Classez la discontinuité de p(x) = \frac{x + 5}{x^2 - 25} en x = 5 et en x = -5.
Étape 1. Factoriser. p(x) = \frac{x + 5}{(x - 5)(x + 5)}.
Étape 2. En x = -5 : le facteur (x + 5) se simplifie, il reste \frac{1}{x - 5}, qui tend vers -\frac{1}{10}. Discontinuité effaçable (un trou en \left(-5, -\frac{1}{10}\right)).
Étape 3. En x = 5 : après simplification, \frac{1}{x - 5} a toujours x - 5 au dénominateur, et le numérateur vaut 1 \neq 0. Discontinuité infinie, une asymptote verticale x = 5.
Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
La continuité a une conséquence puissante. Si vous passez continûment d'une hauteur à une autre, vous traversez forcément toutes les hauteurs intermédiaires.
Théorème des valeurs intermédiaires. Si f est continue sur [a, b] et si N est un nombre quelconque compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un nombre c dans (a, b) tel que
L'usage le plus courant est de montrer qu'une équation a une solution, en prenant N = 0 : si une fonction continue change de signe sur un intervalle, elle s'y annule.
Exemple 4 : prouver l'existence d'une racine
Montrez que x^3 + x - 1 = 0 admet une solution entre 0 et 1.
Étape 1. Vérifier la continuité. f(x) = x^3 + x - 1 est un polynôme, donc elle est continue sur [0, 1].
Étape 2. Évaluer aux bornes. f(0) = -1 et f(1) = 1 + 1 - 1 = 1.
Étape 3. Appliquer le TVI. 0 est compris entre -1 et 1, donc il existe un c dans (0, 1) tel que f(c) = 0.
Le TVI vous dit qu'une racine existe, pas où elle se trouve. (Ici, elle vaut environ 0.68.) Notez qu'il exige la continuité : \frac{1}{x} est négative en x = -1 et positive en x = 1, mais elle ne vaut jamais 0, car elle n'est pas continue sur [-1, 1].
Continuité et dérivabilité
La continuité est la condition minimale pour qu'une fonction ait une dérivée. Si f est dérivable en a, elle est forcément continue en a. Une courbe avec un trou, un saut ou une asymptote ne peut pas avoir de tangente à cet endroit.
La réciproque est fausse. Une fonction continue peut quand même ne pas être dérivable en un point :
- Un point anguleux. |x| est continue en 0, mais sa pente vaut -1 à gauche et 1 à droite, donc il n'y a pas de pente de tangente unique.
- Une tangente verticale. \sqrt[3]{x} est continue en 0, mais sa tangente y est verticale, de pente non définie.
- Un point de rebroussement. x^{2/3} est continue en 0 mais forme une pointe.
Quand vous étudierez les dérivées, retenez donc l'implication : dérivable implique continue, mais continue n'implique pas dérivable.
Les erreurs fréquentes sur la continuité
- Ne vérifier que la limite. Une limite peut exister alors que la valeur de la fonction manque ou est différente. Il faut vérifier les trois conditions.
- Voir une asymptote derrière chaque dénominateur nul. Factorisez d'abord. Un facteur qui se simplifie donne un trou, pas une asymptote.
- Ne raccorder qu'un seul côté d'une fonction définie par morceaux. Au point de raccordement, comparez la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction.
- Utiliser le TVI sans continuité. Le théorème ne dit rien des fonctions qui ont des sauts ou des asymptotes dans l'intervalle.
- Attendre du TVI qu'il donne la valeur de c. Il garantit seulement que c existe.
Entraînez-vous à repérer les discontinuités
Classer des discontinuités et trouver k font partie des questions d'examen les plus courantes sur les limites, et les deux suivent une méthode fixe. La leçon interactive ci-dessous vous propose des courbes et des formules à analyser, vérifie instantanément chaque condition que vous affirmez et explique toute étape manquée. La continuité prépare aussi la grande notion suivante, la dérivée, puisque toute fonction dérivable est continue.
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