Intégration par parties : formule, règle LIATE et exemples

Le changement de variable règle facilement \int 2x e^{x^2}\,dx. Mais transformez-la en \int x e^x\,dx et aucun changement de variable n'aide, car les deux facteurs n'ont rien à voir l'un avec l'autre. L'intégration par parties est faite exactement pour cette situation : un produit de deux types de fonctions différents.

Qu'est-ce que l'intégration par parties ?

L'intégration par parties est la règle du produit à l'envers. La règle du produit dit que (uv)' = u'v + uv'. Intégrez les deux membres et réorganisez : vous obtenez la formule d'intégration par parties :

Ici, u est une fonction que vous allez dériver (pour obtenir du), et dv est la partie que vous allez intégrer (pour obtenir v). La formule échange l'intégrale de départ \int u\,dv contre une nouvelle, \int v\,du. Tout l'enjeu est de choisir u et dv pour que la nouvelle intégrale soit plus facile.

Pour les intégrales définies, la même formule s'écrit

Quand utiliser l'intégration par parties

Pensez à l'intégration par parties après avoir écarté un changement de variable plus simple. Bons indices que c'est le bon outil :

• L'intégrande est un produit de deux types de fonctions différents, comme un polynôme fois une exponentielle ou un polynôme fois une fonction trigonométrique.
• L'intégrande est une seule fonction facile à dériver mais difficile à intégrer, comme \ln x, \arctan x ou \arcsin x.
• Aucun facteur n'est la dérivée de quelque chose à l'intérieur de l'autre. (Si c'était le cas, un changement de variable marcherait.)

Comment choisir u : la règle LIATE

Un bon u se simplifie quand on le dérive, et un bon dv doit être quelque chose qu'on sait intégrer. La règle LIATE classe les types de fonctions. Choisissez pour u le facteur qui apparaît en premier :

Pourquoi cet ordre ? Les logarithmes et les fonctions trigonométriques réciproques sont difficiles à intégrer mais ont des dérivées simples, donc ils ont leur place dans u. Les exponentielles et les sinus sont aussi faciles à intégrer qu'à dériver, donc ils font un dv naturel.

Astuce : LIATE est un guide solide, pas une loi. Si votre choix rend la nouvelle intégrale pire, échangez u et dv et recommencez.

Exemple corrigé 1 : x fois e^x

Calculez \int x e^x\,dx.

Étape 1. Choisir u et dv. Algébrique passe avant exponentielle, donc u = x et dv = e^x\,dx.

Étape 2. Calculer du et v. du = dx et v = e^x.

Étape 3. Appliquer la formule.

Étape 4. Terminer l'intégrale plus facile.

Vérification : la dérivée de e^x(x-1) vaut e^x(x-1) + e^x = x e^x. C'est juste.

Si vous aviez choisi u = e^x et dv = x\,dx, la nouvelle intégrale aurait été \int \tfrac{x^2}{2}e^x\,dx, qui est pire. C'est LIATE qui vous sauve.

Exemple corrigé 2 : x fois cos x

Calculez \int x\cos x\,dx.

Étape 1. u = x (algébrique), dv = \cos x\,dx (trigonométrique).

Étape 2. du = dx, v = \sin x.

Étape 3.

Attention au signe : \int \sin x\,dx = -\cos x, et le soustraire donne +\cos x.

Exemple corrigé 3 : la primitive de ln x

Calculez \int \ln x\,dx.

Il semble n'y avoir qu'un seul facteur, mais on peut toujours écrire dv = dx.

Étape 1. u = \ln x, dv = dx.

Étape 2. du = \frac1x\,dx, v = x.

Étape 3.

La même astuce traite \int \arctan x\,dx. Avec u = \arctan x et dv = dx, on obtient x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx, et un rapide changement de variable termine le calcul :

Exemple corrigé 4 : une intégrale définie

Calculez \int_1^e \ln x\,dx.

Avec la primitive de l'exemple 3 :

La méthode du tableau pour les intégrations par parties successives

Quand u est un polynôme comme x^3, il faudrait appliquer l'intégration par parties trois fois, en baissant la puissance de un à chaque fois. La méthode du tableau (parfois appelée méthode DI) fait tous les passages d'un coup.

1. Dans la colonne de gauche, écrivez u et continuez à dériver jusqu'à obtenir 0.
2. Dans la colonne de droite, écrivez dv et continuez à intégrer, une ligne par dérivée.
3. Tracez des diagonales de chaque case de gauche vers la case de droite de la ligne suivante, avec des signes alternés +, -, +, -, \dots
4. Additionnez les produits en diagonale.

Exemple corrigé 5 : méthode du tableau pour x³ sin x

Calculez \int x^3\sin x\,dx.

Multipliez chaque case de gauche par la case de droite de la ligne suivante, avec le signe de sa ligne :

Vérification : en dérivant, on obtient -3x^2\cos x + x^3\sin x + 6x\sin x + 3x^2\cos x + 6\cos x - 6x\sin x - 6\cos x = x^3\sin x. Tout le reste se simplifie.

La méthode du tableau marche sans accroc dès que u finit par se dériver en zéro et que dv s'intègre facilement encore et encore, donc pour un polynôme fois e^{ax}, \sin(ax) ou \cos(ax).

Le cas de la boucle : e^x sin x

Certaines intégrales ne se réduisent jamais à zéro. Au lieu de cela, après deux intégrations par parties, l'intégrale de départ revient. Ce n'est pas une impasse. C'est la solution.

Exemple corrigé 6 : intégrer e^x sin x

Calculez I = \int e^x\sin x\,dx.

Étape 1. Premier passage. Posez u = \sin x, dv = e^x\,dx. Alors du = \cos x\,dx, v = e^x :

Étape 2. Deuxième passage, même schéma. Dans la nouvelle intégrale, posez u = \cos x, dv = e^x\,dx. Alors du = -\sin x\,dx, v = e^x :

Étape 3. Remplacer.

Étape 4. Résoudre en I. Ajoutez I aux deux membres : 2I = e^x(\sin x - \cos x), donc

Vérification : la dérivée vaut \tfrac12\left[e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x)\right] = \tfrac12\cdot 2e^x\sin x = e^x\sin x.

Astuce : au deuxième passage, gardez le même type de fonction pour u (trigonométrique les deux fois). Si vous changez et prenez u = e^x, vous défaites la première étape et vous aboutissez à I = I.

Les erreurs fréquentes en intégration par parties

1. Choisir u à l'envers. Poser u = e^x dans \int x e^x\,dx rend l'intégrale plus difficile. Suivez LIATE.
2. Les erreurs de signe. La formule contient un signe moins, et \int\sin x\,dx = -\cos x en ajoute un autre. La plupart des mauvaises réponses viennent de là.
3. Oublier v dans le terme uv. C'est uv, et non u\,dv.
4. Oublier l'alternance des signes dans la méthode du tableau. Une diagonale sur deux est négative.
5. Changer de type dans la boucle. Dans \int e^x\sin x\,dx, gardez la fonction trigonométrique comme u les deux fois.
6. Oublier le +C, ou oublier d'évaluer uv aux deux bornes dans une intégrale définie.

Aide-mémoire

Entraînez-vous jusqu'à ce que LIATE devienne automatique

L'intégration par parties récompense la répétition plus que toute autre technique : la formule est courte, mais bien choisir u et ne pas se tromper de signe ne devient naturel qu'avec l'entraînement. La leçon interactive ci-dessous vous donne un retour immédiat à chaque étape, pour que vous repériez un signe inversé avant qu'il ne devienne une habitude.