Teorema del Sándwich: enunciado, idea de la prueba y ejemplos

El teorema del sándwich, también conocido como teorema del emparedado, del encaje o de compresión, permite hallar un límite que no puedes calcular directamente atrapando la función entre dos funciones cuyos límites sí sabes calcular. Si la cota inferior y la cota superior tienden al mismo número, la función atrapada entre ellas también debe tender a él.

Enunciado del teorema del sándwich

Sean f, g y h funciones definidas en un intervalo abierto que contiene a a, salvo quizá en el propio a. Supongamos que

1. g(x) \le f(x) \le h(x) para todo x de ese intervalo con x \ne a, y
2. \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L.

Entonces

El mismo enunciado vale para límites laterales y para límites cuando x \to \infty o x \to -\infty, siempre que la desigualdad se cumpla en el intervalo lateral correspondiente o para todo |x| suficientemente grande.

Qué dice el teorema del sándwich en palabras sencillas

Imagina dos curvas que se juntan en un único punto sobre x = a. Cualquier curva dibujada entre ellas no tiene espacio para ir a otro sitio cerca de a, así que queda pellizcada y pasa por ese mismo punto. El teorema convierte ese dibujo en una regla: nunca tienes que calcular \lim f(x) directamente, solo los límites de las dos cotas.

Por qué importa cada hipótesis

Las cotas deben tener el mismo límite. Todo x \ne 0 cumple -1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1, pero las cotas tienden a -1 y 1, que son distintos. El teorema no da ninguna conclusión, y de hecho \lim_{x \to 0}\sin\frac{1}{x} no existe: la función toma todos los valores de [-1, 1] infinitas veces cerca de 0.

La desigualdad debe cumplirse cerca de a. Una cota que solo vale lejos de a no dice nada sobre el límite en a. En cambio, puede fallar en el propio a, o lejos de él, sin ningún problema. Solo importa un intervalo pequeño alrededor de a.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: \lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x}.

Paso 1. Acota el factor oscilante: -1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1 para todo x \ne 0.

Paso 2. Multiplica por x^2, que es positivo para x \ne 0, así que las desigualdades mantienen su sentido:

Paso 3. Tanto -x^2 como x^2 tienden a 0 cuando x \to 0. Por el teorema del sándwich, \lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0.

La sustitución directa falla aquí porque \sin\frac{1}{0} no está definido, y la regla del producto para límites falla porque \lim \sin\frac{1}{x} no existe. El teorema del sándwich es la herramienta adecuada.

Ejemplo 2: \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x}.

Para x > 0, de -1 \le \cos x \le 1 se obtiene

Ambas cotas tienden a 0 cuando x \to \infty, así que \frac{\cos x}{x} \to 0. Consulta límites en el infinito para ver más límites de este tipo.

Ejemplo 3: el famoso límite \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.

Un argumento geométrico con la circunferencia unitaria muestra que para 0 < |x| < \frac{\pi}{2},

Cuando x \to 0, \cos x \to 1 y la constante 1 se queda en 1. El teorema del sándwich da \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1. Este único límite es la razón de que \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, como se muestra en derivadas de funciones trigonométricas.

Cómo usar el teorema del sándwich

1. Encuentra la parte que se porta mal, normalmente un seno o un coseno de algo que se dispara.
2. Acótala con constantes, por lo general -1 y 1.
3. Multiplica o suma para reconstruir f(x) en el medio. Si multiplicas por una cantidad negativa, invierte las desigualdades.
4. Calcula el límite de cada cota. Si coinciden, has terminado.

Un atajo útil: si |f(x)| \le h(x) y h(x) \to 0, entonces f(x) \to 0. Es el teorema del sándwich con g = -h.

Errores comunes

1. Usar cotas con límites distintos. Las cotas -1 y 1 para \sin\frac{1}{x} por sí solas no demuestran nada. Hay que multiplicar por algo que tienda a cero.
2. Olvidar el signo al multiplicar. Para x\sin\frac{1}{x} con x < 0 las desigualdades se invierten. Usar |x\sin\frac{1}{x}| \le |x| evita el problema.
3. Separar el límite en un producto. Escribir \lim x^2 \cdot \lim \sin\frac{1}{x} no es válido porque el segundo límite no existe.

Teoremas y guías relacionados

El teorema del sándwich es una de las herramientas básicas para calcular límites. Suele enseñarse junto al teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo, que describen lo que deben cumplir las funciones continuas. Para una introducción suave a los propios límites, empieza por qué es un límite.