Función seno sin(x): gráfica, derivada, integral y propiedades

La función seno toma un ángulo x, medido en radianes, y devuelve la coordenada y del punto con ese ángulo en la circunferencia unitaria. Produce la onda suave y repetitiva que hay detrás del sonido, la luz, las mareas y todo lo que oscila, y es uno de los dos pilares (junto con el coseno) de todas las demás funciones trigonométricas.

Definición de sen x

Empieza en el punto (1, 0) de la circunferencia unitaria y recorre una distancia x en sentido antihorario (en sentido horario si x es negativo). Llegas al punto (\cos x, \sin x). Así que

Es decir, el seno es la altura (la ordenada) del punto que corresponde a ese ángulo. En un triángulo rectángulo esto coincide con la conocida razón \sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} (cateto opuesto entre hipotenusa), pero la versión de la circunferencia unitaria funciona para cualquier número real, incluidos los ángulos negativos y los mayores que 2\pi.

Gráfica de y = sen x

La gráfica pasa por el origen, sube hasta su máximo en x = \frac{\pi}{2}, vuelve a cero en x = \pi, alcanza su mínimo en x = \frac{3\pi}{2} y completa un ciclo entero en x = 2\pi.

Valores clave del seno

Propiedades de la función seno

• Dominio y rango. Se admite cualquier número real, y el resultado siempre está en [-1, 1].
• Periodo. \sin(x + 2\pi) = \sin x. En general, A\sin(bx) tiene amplitud |A| y periodo \frac{2\pi}{|b|}.
• Ceros. \sin x = 0 exactamente cuando x = k\pi con k entero.
• Simetría impar. \sin(-x) = -\sin x, así que la gráfica es simétrica respecto del origen.
• Identidad pitagórica. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 para todo x.
• Relación de desplazamiento. \sin x = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right): la onda del seno es una onda del coseno desplazada \frac{\pi}{2} hacia la derecha.

Derivada de sen x

Puedes leerlo en la gráfica: el seno es más empinado (pendiente 1) en x = 0, donde \cos 0 = 1, y es plano en su máximo x = \frac{\pi}{2}, donde \cos\frac{\pi}{2} = 0. La demostración usa el límite \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1, y esa es la razón por la que se necesitan radianes. Al derivar otra vez se obtiene \frac{d^2}{dx^2}\sin x = -\sin x, y las derivadas recorren el ciclo \sin, \cos, -\sin, -\cos cada cuatro pasos.

Con la regla de la cadena, \frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u)\cdot u'.

Integral de sen x

Compruébalo derivando: \frac{d}{dx}(-\cos x) = -(-\sin x) = \sin x. Bajo un arco el área es \int_0^{\pi}\sin x\,dx = -\cos\pi + \cos 0 = 2, y en un periodo completo el área con signo es \int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: regla de la cadena. Deriva f(x) = \sin(x^2). La función interior es x^2, con derivada 2x, así que f'(x) = 2x\cos(x^2).

Ejemplo 2: regla del producto. Deriva g(x) = x\sin x. Por la regla del producto, g'(x) = \sin x + x\cos x.

Ejemplo 3: sustitución. Evalúa \int \sin(5x)\,dx. Sea u = 5x, de modo que du = 5\,dx:

Ejemplo 4: un límite famoso. \lim_{x \to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3.

Errores comunes

1. Signo equivocado en la integral. \int\sin x\,dx es -\cos x + C, no \cos x + C. La derivada no lleva signo menos; la integral sí.
2. Usar grados. \frac{d}{dx}\sin x = \cos x es falso si x está en grados. Pon tu calculadora en radianes.
3. Tratar \sin como una multiplicación. \sin(2x) \ne 2\sin x y \sin(a + b) \ne \sin a + \sin b.
4. Confundir \sin^{-1}x con \frac{1}{\sin x}. \sin^{-1}x es la función inversa arcoseno, mientras que \frac{1}{\sin x} es la cosecante.

Cómo se relaciona el seno con otros temas

El seno y el coseno definen el resto de la familia: la tangente es \frac{\sin x}{\cos x}, y la secante, la cosecante y la cotangente son recíprocas. Su inversa en \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] es el arcoseno. En Cálculo 2, el seno aparece en la sustitución trigonométrica y tiene la serie de Taylor \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots. Para saber más sobre cómo derivar todas las funciones trigonométricas, lee la guía de derivadas de las funciones trigonométricas.