Funciones logarítmicas log_b(x): gráficas, reglas, derivada e integral

Una función logarítmica \log_b x devuelve el exponente al que hay que elevar la base b para obtener x. Por ejemplo, \log_2 8 = 3 porque 2^3 = 8. Los logaritmos deshacen las funciones exponenciales, y en cálculo todo logaritmo es un múltiplo constante del logaritmo natural.

Definición y fórmula

Bases habituales: \log_{10}x (a menudo escrito \log x), \ln x = \log_e x y \log_2 x en informática.

Gráficas de funciones logarítmicas

Propiedades clave

• Dominio (0, \infty), rango todos los reales.
• Pasa por (1, 0) y (b, 1) para cualquier base.
• Asíntota vertical x = 0.
• Creciente si b > 1, decreciente si 0 < b < 1.
• Inversa de b^x: b^{\log_b x} = x para x > 0 y \log_b(b^x) = x para todo x. La gráfica es la de b^x reflejada respecto a y = x.
• Crecimiento lento: para b > 1, \log_b x \to \infty, pero más despacio que cualquier potencia positiva de x.

Propiedades de los logaritmos

Para x, y > 0:

Derivada de log_b x

El cambio de base la convierte en un múltiplo constante de \ln x:

Con la regla de la cadena, \frac{d}{dx}\log_b g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)\ln b}. Cuando b = e, \ln e = 1 y recuperas \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.

Integral de log_b x

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: evaluar. \log_3 81 = 4 porque 3^4 = 81, y \log_2\frac{1}{8} = -3 porque 2^{-3} = \frac{1}{8}.

Ejemplo 2: derivada. \frac{d}{dx}\log_{10}x = \frac{1}{x\ln 10}. En x = 10 la pendiente es \frac{1}{10\ln 10} \approx 0.0434.

Ejemplo 3: regla de la cadena. \frac{d}{dx}\log_2(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 2}.

Ejemplo 4: aplica primero las propiedades de los logaritmos. \frac{d}{dx}\log_5\left(x^3\sqrt{x}\right) = \frac{d}{dx}\tfrac{7}{2}\log_5 x = \frac{7}{2x\ln 5}.

Ejemplo 5: resolver una ecuación exponencial. Para resolver 2^x = 10, aplica \log_2 a ambos lados: x = \log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3.32.

Errores comunes

1. Olvidar el \ln b en la derivada. \frac{d}{dx}\log_{10}x \ne \frac{1}{x}.
2. Separar el logaritmo de una suma. \log_b(x + y) \ne \log_b x + \log_b y.
3. Escribir \frac{\log_b x}{\log_b y} = \log_b(x - y). La regla del cociente es para el logaritmo de un cociente, no para un cociente de logaritmos.
4. Invertir el cambio de base. Es \frac{\ln x}{\ln b}, no \frac{\ln b}{\ln x}.

Cómo se relaciona

Los logaritmos convierten ecuaciones exponenciales en lineales y productos en sumas, la idea detrás de la derivación logarítmica. También aparecen en la integral de \frac{1}{x} y en muchas integrales impropias. Para ver las reglas de derivación junto a las de las exponenciales, lee la guía de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.