Fonctions logarithmes log_b(x) : courbes, règles, dérivée et primitive

Une fonction logarithme \log_b x renvoie l'exposant qu'il faut mettre sur la base b pour obtenir x. Par exemple, \log_2 8 = 3 car 2^3 = 8. Les logarithmes défont les fonctions exponentielles, et en analyse, tout logarithme est un multiple constant du logarithme népérien.

Définition et formule

Bases courantes : \log_{10}x (le logarithme décimal, souvent noté \log x), \ln x = \log_e x, et \log_2 x en informatique.

Courbes des fonctions logarithmes

Propriétés principales

• Domaine de définition (0, \infty), ensemble image : tous les réels.
• Passe par (1, 0) et (b, 1) quelle que soit la base.
• Asymptote verticale x = 0.
• Croissante si b > 1, décroissante si 0 < b < 1.
• Réciproque de b^x : b^{\log_b x} = x pour x > 0 et \log_b(b^x) = x pour tout x. La courbe est celle de b^x réfléchie par rapport à la droite y = x.
• Croissance lente : pour b > 1, \log_b x \to \infty, mais plus lentement que toute puissance positive de x.

Règles de calcul sur les logarithmes

Pour x, y > 0 :

Dérivée de log_b x

Grâce au changement de base, c'est un multiple constant de \ln x :

Avec la règle de dérivation en chaîne, \frac{d}{dx}\log_b g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)\ln b}. Lorsque b = e, \ln e = 1 et on retrouve \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.

Primitive de log_b x

Exemples corrigés

Exemple 1 : calcul de valeurs. \log_3 81 = 4 car 3^4 = 81, et \log_2\frac{1}{8} = -3 car 2^{-3} = \frac{1}{8}.

Exemple 2 : dérivée. \frac{d}{dx}\log_{10}x = \frac{1}{x\ln 10}. En x = 10, la pente vaut \frac{1}{10\ln 10} \approx 0.0434.

Exemple 3 : dérivation en chaîne. \frac{d}{dx}\log_2(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 2}.

Exemple 4 : appliquer d'abord les règles de calcul. \frac{d}{dx}\log_5\left(x^3\sqrt{x}\right) = \frac{d}{dx}\tfrac{7}{2}\log_5 x = \frac{7}{2x\ln 5}.

Exemple 5 : résoudre une équation exponentielle. Pour résoudre 2^x = 10, on applique \log_2 aux deux membres : x = \log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3.32.

Erreurs fréquentes

1. Oublier le \ln b dans la dérivée. \frac{d}{dx}\log_{10}x \ne \frac{1}{x}.
2. Séparer le logarithme d'une somme. \log_b(x + y) \ne \log_b x + \log_b y.
3. Écrire \frac{\log_b x}{\log_b y} = \log_b(x - y). La règle du quotient porte sur le logarithme d'un quotient, pas sur un quotient de logarithmes.
4. Inverser le changement de base. C'est \frac{\ln x}{\ln b}, et non \frac{\ln b}{\ln x}.

Liens avec le reste du programme

Les logarithmes transforment les équations exponentielles en équations du premier degré et les produits en sommes : c'est l'idée de la dérivation logarithmique. Ils apparaissent aussi dans la primitive de \frac{1}{x} et dans de nombreuses intégrales impropres. Pour voir les règles de dérivation en parallèle avec celles des exponentielles, lisez le guide sur les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes.