Étude de fonction avec les dérivées : tests de f' et de f''

Une calculatrice graphique trace une courbe en une seconde, alors pourquoi la tracer à la main ? Parce que la calculatrice ne vous dit pas pourquoi la courbe a cette allure, où exactement elle change de sens, ni si une ondulation hors de l'écran cache un maximum. Les dérivées répondent à tout cela. Avec f' et f'', vous pouvez prévoir la forme exacte d'une courbe avant de placer le moindre point, et les questions d'examen sur ce thème comptent parmi les points les plus prévisibles à gagner.

Ce que disent la dérivée première et la dérivée seconde

Étudier une fonction pour tracer sa courbe, c'est utiliser les dérivées pour trouver où la courbe monte et descend, où elle change de sens et comment elle se courbe. Chaque dérivée répond à une question :

• La dérivée première f' est la pente. Là où f'(x) > 0, la fonction est croissante ; là où f'(x) < 0, elle est décroissante.
• La dérivée seconde f'' est le taux de variation de la pente. Là où f''(x) > 0, la courbe est convexe (en forme de coupe) ; là où f''(x) < 0, elle est concave (en forme de chapeau).

Un point critique est un x du domaine de définition où f'(x) = 0 ou bien où f'(x) n'existe pas. Ce sont les seuls endroits où une fonction régulière peut changer de sens de variation. Un point d'inflexion est un point de la courbe où la convexité change.

Le test de la dérivée première

Soit c un point critique. Regardez le signe de f' juste à gauche et juste à droite de c :

Si f' a le même signe des deux côtés, il n'y a pas d'extremum en c : la courbe s'aplatit un instant puis continue.

La raison est simple. Un maximum local est l'endroit où la courbe cesse de monter et commence à descendre, donc la pente doit passer du positif au négatif.

Le test de la dérivée seconde

Si f'(c) = 0, vous pouvez souvent vous passer du tableau de signes et calculer f''(c) :

Une tangente horizontale sur une courbe concave est forcément le sommet d'une colline ; une tangente horizontale sur une coupe en est forcément le fond. Mais si f''(c) = 0, le test ne permet pas de conclure. Cela ne veut pas dire « pas d'extremum ». Revenez au test de la dérivée première.

Exemple corrigé 1 : l'étude complète d'une fonction cubique

Tracez la courbe de f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5.

Étape 1. Domaine et intersections. Un polynôme est défini pour tout réel x. L'intersection avec l'axe des y est f(0) = 5.

Étape 2. Dérivée première et points critiques.

Donc f'(x) = 0 en x = -1 et x = 3.

Étape 3. Tableau de signes de f'. Testez une valeur dans chaque intervalle :

D'après le test de la dérivée première, f admet un maximum local en x = -1 (du plus au moins) et un minimum local en x = 3 (du moins au plus).

Étape 4. Hauteurs des extremums.

Étape 5. Dérivée seconde et convexité.

f''(x) < 0 pour x < 1 (concave) et f''(x) > 0 pour x > 1 (convexe). La convexité change en x = 1, donc il y a un point d'inflexion en (1, f(1)) = (1, 1 - 3 - 9 + 5) = (1, -6).

Étape 6. Confirmer avec le test de la dérivée seconde. f''(-1) = -12 < 0, donc x = -1 est un maximum. f''(3) = 12 > 0, donc x = 3 est un minimum. Les deux concordent avec l'étape 3.

Étape 7. Comportement aux bornes. Le terme dominant x^3 l'emporte, donc f(x) \to -\infty quand x \to -\infty et f(x) \to \infty quand x \to \infty.

Étape 8. Tracer. On monte depuis le bas à gauche en se courbant comme un chapeau, on culmine en (-1, 10), on passe par (0, 5), on descend en traversant le point d'inflexion (1, -6) où la courbure devient celle d'une coupe, on atteint le fond en (3, -22), puis on remonte vers le haut à droite.

Remarquez que le point d'inflexion se trouve exactement à mi-chemin entre les deux extremums. C'est vrai pour toute fonction cubique qui a deux points critiques, et c'est une vérification pratique.

Exemple corrigé 2 : quand le test de la dérivée seconde échoue

Étudiez f(x) = x^4 - 4x^3.

Étape 1. Points critiques.

Points critiques : x = 0 et x = 3.

Étape 2. Essayer le test de la dérivée seconde.

En x = 3 : f''(3) = 12(3)(1) = 36 > 0, donc il y a un minimum local en (3, 81 - 108) = (3, -27).

En x = 0 : f''(0) = 0. Le test ne permet pas de conclure.

Étape 3. Utiliser le test de la dérivée première en x = 0. Le facteur 4x^2 n'est jamais négatif, donc le signe de f' près de 0 vient de x - 3, qui est négatif des deux côtés de 0. Ainsi f' est négative des deux côtés : f est décroissante en passant par x = 0, et il n'y a pas d'extremum à cet endroit, juste un palier.

Étape 4. Convexité et points d'inflexion. f'' = 12x(x - 2) change de signe en x = 0 et en x = 2 :

Ce sont deux points d'inflexion : (0, 0) et (2, 16 - 32) = (2, -16). Le palier à l'origine est donc aussi un point d'inflexion, et c'est pourquoi ce n'est ni un maximum ni un minimum.

Exemple corrigé 3 : une courbe exponentielle

Étudiez f(x) = x e^{-x}.

Étape 1. Dérivée première (règle du produit) :

Comme e^{-x} > 0, le signe de f' est celui de 1 - x : croissante pour x < 1, décroissante pour x > 1. Maximum local en \left(1, \frac{1}{e}\right) \approx (1, 0.37).

Étape 2. Dérivée seconde.

Concave pour x < 2, convexe pour x > 2. Point d'inflexion en \left(2, \frac{2}{e^2}\right) \approx (2, 0.27).

Étape 3. Vérification par le test de la dérivée seconde. f''(1) = e^{-1}(-1) < 0, ce qui confirme le maximum.

Quand x \to \infty, e^{-x} décroît bien plus vite que x ne croît, donc la courbe s'aplatit vers 0 (voir limites à l'infini).

Les erreurs fréquentes en étude de fonction

1. Voir un point d'inflexion dès que f''(c) = 0. f(x) = x^4 a f''(0) = 0 mais elle est convexe partout. Vérifiez que le signe change.
2. Conclure « pas d'extremum » quand le test de la dérivée seconde échoue. f''(c) = 0 veut dire « utilisez un autre test », pas « il ne se passe rien ». Pour x^4, x = 0 est un minimum.
3. Confondre le rôle de chaque dérivée. f' donne les variations ; f'' donne la convexité. Une fonction peut être croissante et concave en même temps.
4. Tester le signe aux points critiques eux-mêmes. Choisissez des valeurs test strictement à l'intérieur de chaque intervalle.
5. Ne donner que les valeurs de x. Un maximum local est un point. Donnez (-1, 10), pas seulement x = -1, sauf si la question ne demande que l'abscisse.
6. Oublier les points où f' n'est pas définie. Pour f(x) = x^{2/3}, f'(0) n'existe pas, et pourtant x = 0 est un minimum (un point de rebroussement).

Aide-mémoire

Pour trouver la plus grande ou la plus petite valeur absolue d'une grandeur réelle, les mêmes outils servent aux problèmes d'optimisation.

Entraînez-vous à lire une courbe à partir des dérivées

L'étude de fonction est une routine : points critiques, tableau de signes, dérivée seconde, tableau de signes, tracé. Cette routine ne devient rapide qu'avec la répétition. La leçon interactive ci-dessous vous permet de travailler la convexité et la dérivée seconde avec un retour immédiat, pour prendre l'habitude de vérifier le changement de signe avant de parler de point d'inflexion.