Regras do produto e do quociente: fórmulas, macetes e exemplos
Aprenda a regra do produto e a regra do quociente passo a passo, com macetes fáceis, quando simplificar antes e exemplos de derivadas totalmente resolvidos.
Pela equipe do PracticeCalculus Publicado 8 min de leitura
Nesta página
- O que são as regras do produto e do quociente?
- Macetes para não esquecer
- Por que a regra do produto funciona
- Exemplo resolvido 1: um polinômio vezes uma função trigonométrica
- Exemplo resolvido 2: conferindo a regra num produto de polinômios
- Exemplo resolvido 3: onde um produto tem tangente horizontal
- Exemplo resolvido 4: a regra do quociente com polinômios
- Exemplo resolvido 5: deduzindo a derivada de tg x
- Quando simplificar antes
- Produtos de três funções
- Erros comuns com as regras do produto e do quociente
- Resumo rápido
- Pratique até o padrão ficar automático
Você sabe derivar x^3 e sabe derivar \sin x. Mas qual é a derivada de x^3 \sin x, ou de \frac{x^2+1}{x-1}? Dá vontade de derivar cada pedaço e multiplicar ou dividir os resultados, e isso dá a resposta errada todas as vezes. A regra do produto e a regra do quociente são as ferramentas certas, e depois que você pega os padrões elas levam segundos.
O que são as regras do produto e do quociente?
A regra do produto é a fórmula da derivada de duas funções multiplicadas. A regra do quociente é a fórmula da derivada de uma função dividida por outra. Ambas são atalhos que vêm da definição de derivada por limite, então você nunca precisa voltar aos limites para um produto ou uma fração.
Escreva u e v para duas funções diferenciáveis de x, e u' e v' para suas derivadas.
Regra do produto:
Regra do quociente:
Repare que nenhuma das regras é "multiplique as derivadas" ou "divida as derivadas". Por exemplo, \frac{d}{dx}(x \cdot x) = \frac{d}{dx}x^2 = 2x, mas multiplicar as derivadas daria 1 \cdot 1 = 1. As regras existem justamente porque o palpite ingênuo falha.
Macetes para não esquecer
Para a regra do produto, diga: "derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda." Como a soma não depende da ordem, você também pode escrever uv' + u'v. De qualquer forma, cada termo tem exatamente uma derivada.
Para a regra do quociente, o macete clássico é:
Dica: "Derivada de cima vezes o de baixo, menos o de cima vezes a derivada de baixo, sobre o de baixo ao quadrado." Aqui "de cima" é o numerador u e "de baixo" é o denominador v. Ou seja: v \cdot u' menos u \cdot v', tudo sobre v^2.
A ordem na regra do quociente importa por causa do sinal de menos. Comece sempre pela derivada de cima. Se você trocar os dois termos, sua resposta sai com o sinal errado.
Por que a regra do produto funciona
Imagine um retângulo de lados u e v, então sua área é uv. Agora mexa um pouquinho em x. O lado u cresce uma pequena quantidade \Delta u e o lado v cresce \Delta v. A nova área ganha três pedaços: uma faixa de tamanho \Delta u \cdot v, uma faixa de tamanho u \cdot \Delta v e um cantinho \Delta u \cdot \Delta v.
Divida por \Delta x e faça \Delta x \to 0. As duas faixas viram u'v e uv'. O canto encolhe até zero muito mais rápido que as faixas, então desaparece. O que sobra é exatamente u'v + uv'. A área muda porque os dois lados mudam, e cada lado contribui com sua própria faixa.
Exemplo resolvido 1: um polinômio vezes uma função trigonométrica
Derive y = x^3 \sin x.
Passo 1. Dê nome aos fatores. u = x^3 e v = \sin x.
Passo 2. Derive cada fator. u' = 3x^2 e v' = \cos x.
Passo 3. Substitua em u'v + uv'.
Passo 4. Fatore se ajudar. Colocando x^2 em evidência, y' = x^2(3\sin x + x\cos x). As duas formas estão corretas.
Exemplo resolvido 2: conferindo a regra num produto de polinômios
Derive y = (2x+1)(x^2-3).
Passo 1. u = 2x + 1, então u' = 2. E v = x^2 - 3, então v' = 2x.
Passo 2. Aplique a regra do produto.
Passo 3. Simplifique.
Confira expandindo primeiro. (2x+1)(x^2-3) = 2x^3 + x^2 - 6x - 3, cuja derivada é 6x^2 + 2x - 6. A mesma resposta. Com dois polinômios, expandir e usar a regra da potência costuma ser igualmente rápido. A regra do produto mostra seu valor quando os fatores não podem ser multiplicados, como em x^3 \sin x ou x^2 e^x.
Exemplo resolvido 3: onde um produto tem tangente horizontal
Encontre onde y = x^2 e^x tem reta tangente horizontal.
Passo 1. u = x^2, u' = 2x, v = e^x, v' = e^x.
Passo 2. Aplique a regra do produto.
Passo 3. Fatore. Os dois termos têm x e^x em comum:
Passo 4. Iguale a zero. Como e^x nunca é zero, y' = 0 só quando x = 0 ou x = -2. Os pontos são (0, 0) e (-2, 4e^{-2}) \approx (-2, 0.54).
Fatorar a derivada é o hábito que compensa aqui. Uma derivada fatorada mostra seus zeros num relance.
Exemplo resolvido 4: a regra do quociente com polinômios
Derive y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}.
Passo 1. Dê nome ao de cima e ao de baixo. De cima: u = x^2 + 1, então u' = 2x. De baixo: v = x - 1, então v' = 1.
Passo 2. Derivada de cima vezes o de baixo, menos o de cima vezes a derivada de baixo.
Passo 3. Expanda só o numerador.
Passo 4. Escreva a resposta. Deixe o denominador ao quadrado; expandi-lo raramente ajuda.
Em x = 2, a função vale \frac{5}{1} = 5 e a inclinação é \frac{4 - 4 - 1}{1} = -1, então a reta tangente ali é y = -x + 7.
Exemplo resolvido 5: deduzindo a derivada de tg x
Derive y = \tan x escrevendo-a como \dfrac{\sin x}{\cos x}.
Passo 1. De cima: u = \sin x, u' = \cos x. De baixo: v = \cos x, v' = -\sin x.
Passo 2. Aplique a regra do quociente.
Passo 3. Use \sin^2 x + \cos^2 x = 1.
É assim que se encontram as derivadas de \tan x, \cot x, \sec x e \csc x. Veja derivadas das funções trigonométricas para o conjunto completo.
Quando simplificar antes
A regra do quociente é confiável, mas trabalhosa. Antes de recorrer a ela, pergunte se um pouco de álgebra a torna desnecessária.
Uma constante embaixo. y = \dfrac{x^3 - 5x}{4} é só \tfrac{1}{4}(x^3 - 5x), então y' = \tfrac{1}{4}(3x^2 - 5).
Uma constante em cima. y = \dfrac{5}{x^2} é 5x^{-2}, então y' = -10x^{-3} = -\dfrac{10}{x^3}. A regra do quociente dá o mesmo resultado, mas com quatro linhas a mais.
Uma única potência de x embaixo. Divida termo a termo:
Da mesma forma, \dfrac{x^2 + \sqrt{x}}{x} = x + x^{-1/2}, com derivada 1 - \tfrac{1}{2}x^{-3/2}.
Um produto que dá para expandir. Como no exemplo 2, multiplicar dois polinômios curtos e usar a regra da potência dispensa totalmente a regra do produto.
Dica: se o denominador for um único termo, divida. Se for uma soma, como x - 1 ou x^2 + 4, use a regra do quociente.
Produtos de três funções
A regra do produto se estende naturalmente. Com três fatores, derive um de cada vez e some:
Por exemplo, com y = x e^x \sin x:
Cada termo tem exatamente um fator derivado.
Erros comuns com as regras do produto e do quociente
- Multiplicar as derivadas. \frac{d}{dx}(x^2 \sin x) \neq 2x \cos x. A resposta correta é 2x\sin x + x^2 \cos x.
- Inverter o numerador da regra do quociente. Escrever uv' - u'v troca o sinal da resposta inteira. Comece pela derivada de cima.
- Esquecer de elevar o denominador ao quadrado. Embaixo fica v^2, não v.
- Perder os parênteses. Em (x-1)(2x) - (x^2+1)(1), o sinal de menos vale para todo o x^2 + 1. Perder os parênteses transforma -1 em +1.
- Usar a regra do quociente com denominador constante. Funciona, mas é lento e cria chances de erro. Tire a constante para fora.
- Expandir o denominador. (x-1)^2 é mais fácil de ler, e mais fácil de usar para achar onde a derivada não está definida, quando fica fatorado.
Resumo rápido
| Situação | Regra | Exemplo |
|---|---|---|
| u \cdot v | u'v + uv' | (x^2 \sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x |
| u \cdot v \cdot w | u'vw + uv'w + uvw' | (x e^x \sin x)' tem três termos |
| \frac{u}{v} | \frac{u'v - uv'}{v^2} | \left(\frac{x}{x+1}\right)' = \frac{1}{(x+1)^2} |
| \frac{u}{c}, c constante | \frac{u'}{c} | \left(\frac{x^3}{4}\right)' = \frac{3x^2}{4} |
| \frac{c}{x^n} | reescreva como cx^{-n} | \left(\frac{5}{x^2}\right)' = -\frac{10}{x^3} |
| \frac{\text{polinômio}}{x^n} | divida termo a termo primeiro | \left(\frac{x^3+2x}{x}\right)' = 2x |
Quando aparecer uma função de dentro, como \sin(3x) dentro de um produto, combine essas regras com a regra da cadeia.
Pratique até o padrão ficar automático
As regras do produto e do quociente são mecânicas, o que é uma boa notícia: algumas dezenas de exercícios bastam para que virem segunda natureza. Faça a lição interativa abaixo. Cada resposta é conferida na hora e, se você trocar os termos de um quociente ou esquecer um fator, vai ver exatamente onde errou antes de seguir em frente.
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A regra do produto
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