Dérivée d'un produit et d'un quotient : formules et exemples

Vous savez dériver x^3 et vous savez dériver \sin x. Mais quelle est la dérivée de x^3 \sin x, ou de \frac{x^2+1}{x-1} ? On est tenté de dériver chaque morceau puis de multiplier ou diviser les résultats, et cela donne une réponse fausse à chaque fois. La règle du produit et la règle du quotient sont les bons outils, et une fois les schémas assimilés, elles prennent quelques secondes.

Que sont les règles du produit et du quotient ?

La règle du produit est la formule de la dérivée de deux fonctions multipliées entre elles. La règle du quotient est la formule de la dérivée d'une fonction divisée par une autre. Ce sont deux raccourcis issus de la définition de la dérivée par la limite : vous n'avez jamais besoin de revenir aux limites pour un produit ou une fraction.

Notons u et v deux fonctions dérivables de x, et u' et v' leurs dérivées.

Règle du produit :

Règle du quotient :

Remarquez qu'aucune des deux règles ne revient à « multiplier les dérivées » ou « diviser les dérivées ». Par exemple, \frac{d}{dx}(x \cdot x) = \frac{d}{dx}x^2 = 2x, alors que multiplier les dérivées donnerait 1 \cdot 1 = 1. Ces règles existent justement parce que l'intuition naïve échoue.

Des moyens mnémotechniques pour les retenir

Pour la règle du produit, dites : « dérivée du premier fois le second, plus le premier fois la dérivée du second ». Comme l'addition ne dépend pas de l'ordre, on peut aussi l'écrire uv' + u'v. Dans tous les cas, chaque terme contient exactement une dérivée.

Pour la règle du quotient, retenez la phrase suivante :

Astuce : « Dérivée du haut fois le bas, moins le haut fois la dérivée du bas, le tout sur le bas au carré. » Ici, le « haut » est le numérateur u et le « bas » est le dénominateur v. Donc : v \cdot u' moins u \cdot v', le tout sur v^2.

L'ordre compte dans la règle du quotient à cause du signe moins. Commencez toujours par la dérivée du numérateur. Si vous inversez les deux termes, votre réponse aura le mauvais signe.

Pourquoi la règle du produit fonctionne

Imaginez un rectangle de côtés u et v, donc d'aire uv. Faites maintenant varier un peu x. Le côté u augmente d'une petite quantité \Delta u et le côté v de \Delta v. La nouvelle aire ajoute trois morceaux : une bande de taille \Delta u \cdot v, une bande de taille u \cdot \Delta v, et un minuscule coin \Delta u \cdot \Delta v.

Divisez par \Delta x et faites tendre \Delta x \to 0. Les deux bandes deviennent u'v et uv'. Le coin tend vers zéro bien plus vite que les bandes, donc il disparaît. Il reste exactement u'v + uv'. L'aire varie parce que les deux côtés varient, et chaque côté apporte sa propre bande.

Exemple corrigé 1 : un polynôme fois une fonction trigonométrique

Dérivez y = x^3 \sin x.

Étape 1. Nommer les facteurs. u = x^3 et v = \sin x.

Étape 2. Dériver chaque facteur. u' = 3x^2 et v' = \cos x.

Étape 3. Remplacer dans u'v + uv'.

Étape 4. Factoriser si cela aide. En mettant x^2 en facteur, on obtient y' = x^2(3\sin x + x\cos x). Les deux formes sont correctes.

Exemple corrigé 2 : vérifier la règle sur un produit de polynômes

Dérivez y = (2x+1)(x^2-3).

Étape 1. u = 2x + 1, donc u' = 2. Et v = x^2 - 3, donc v' = 2x.

Étape 2. Appliquer la règle du produit.

Étape 3. Simplifier.

Vérification en développant d'abord. (2x+1)(x^2-3) = 2x^3 + x^2 - 6x - 3, dont la dérivée est 6x^2 + 2x - 6. Même réponse. Pour deux polynômes, développer puis utiliser la règle de la puissance est souvent tout aussi rapide. La règle du produit devient indispensable quand on ne peut pas développer les facteurs, comme pour x^3 \sin x ou x^2 e^x.

Exemple corrigé 3 : trouver où un produit a une tangente horizontale

Trouvez où y = x^2 e^x a une tangente horizontale.

Étape 1. u = x^2, u' = 2x, v = e^x, v' = e^x.

Étape 2. Appliquer la règle du produit.

Étape 3. Factoriser. Les deux termes ont x e^x en commun :

Étape 4. L'annuler. Comme e^x ne s'annule jamais, y' = 0 seulement quand x = 0 ou x = -2. Les points sont (0, 0) et (-2, 4e^{-2}) \approx (-2, 0.54).

Factoriser la dérivée est l'habitude qui paie ici. Une dérivée factorisée donne ses zéros d'un coup d'œil.

Exemple corrigé 4 : la règle du quotient avec des polynômes

Dérivez y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}.

Étape 1. Nommer le haut et le bas. Haut : u = x^2 + 1, donc u' = 2x. Bas : v = x - 1, donc v' = 1.

Étape 2. Le bas fois la dérivée du haut, moins le haut fois la dérivée du bas.

Étape 3. Développer seulement le numérateur.

Étape 4. Écrire la réponse. Laissez le dénominateur au carré ; le développer aide rarement.

En x = 2, la fonction vaut \frac{5}{1} = 5 et la pente vaut \frac{4 - 4 - 1}{1} = -1, donc la tangente en ce point est y = -x + 7.

Exemple corrigé 5 : retrouver la dérivée de tan x

Dérivez y = \tan x en l'écrivant \dfrac{\sin x}{\cos x}.

Étape 1. Haut : u = \sin x, u' = \cos x. Bas : v = \cos x, v' = -\sin x.

Étape 2. Appliquer la règle du quotient.

Étape 3. Utiliser \sin^2 x + \cos^2 x = 1.

C'est ainsi qu'on trouve les dérivées de \tan x, \cot x, \sec x et \csc x. Voir les dérivées des fonctions trigonométriques pour la liste complète.

Quand simplifier d'abord

La règle du quotient est fiable mais lourde. Avant d'y recourir, demandez-vous si un peu d'algèbre la rend inutile.

Une constante en bas. y = \dfrac{x^3 - 5x}{4} vaut simplement \tfrac{1}{4}(x^3 - 5x), donc y' = \tfrac{1}{4}(3x^2 - 5).

Une constante en haut. y = \dfrac{5}{x^2} vaut 5x^{-2}, donc y' = -10x^{-3} = -\dfrac{10}{x^3}. La règle du quotient donne la même chose, mais avec quatre lignes de plus.

Une seule puissance de x en bas. Divisez terme à terme :

De même, \dfrac{x^2 + \sqrt{x}}{x} = x + x^{-1/2}, de dérivée 1 - \tfrac{1}{2}x^{-3/2}.

Un produit que l'on peut développer. Comme dans l'exemple 2, développer deux petits polynômes et utiliser la règle de la puissance évite complètement la règle du produit.

Astuce : si le dénominateur est un seul terme, divisez. Si c'est une somme comme x - 1 ou x^2 + 4, utilisez la règle du quotient.

Produits de trois fonctions

La règle du produit se généralise naturellement. Pour trois facteurs, on dérive un facteur à la fois et on additionne :

Par exemple, avec y = x e^x \sin x :

Chaque terme a exactement un facteur dérivé.

Erreurs fréquentes avec les règles du produit et du quotient

1. Multiplier les dérivées. \frac{d}{dx}(x^2 \sin x) \neq 2x \cos x. La bonne réponse est 2x\sin x + x^2 \cos x.
2. Inverser le numérateur de la règle du quotient. Écrire uv' - u'v change le signe de toute la réponse. Commencez par la dérivée du numérateur.
3. Oublier d'élever le dénominateur au carré. Le bas est v^2, pas v.
4. Oublier les parenthèses. Dans (x-1)(2x) - (x^2+1)(1), le signe moins s'applique à tout x^2 + 1. Perdre les parenthèses transforme -1 en +1.
5. Utiliser la règle du quotient avec un dénominateur constant. Ça marche, mais c'est lent et cela multiplie les risques d'erreur. Sortez la constante.
6. Développer le dénominateur. (x-1)^2 est plus lisible, et plus pratique pour trouver où la dérivée n'est pas définie, quand on le laisse factorisé.

Mémo

Quand une fonction intérieure apparaît, comme \sin(3x) dans un produit, combinez ces règles avec la règle de dérivation en chaîne.

Entraînez-vous jusqu'à l'automatisme

Les règles du produit et du quotient sont mécaniques, et c'est une bonne nouvelle : quelques dizaines d'exercices suffisent pour qu'elles deviennent naturelles. Faites la leçon interactive ci-dessous. Chaque réponse est vérifiée instantanément, et si vous inversez les termes d'un quotient ou oubliez un facteur, vous verrez exactement où l'erreur s'est produite avant de continuer.