Séries de potências: raio e intervalo de convergência, com exemplos

Você sabe decidir se uma série de números converge. Uma série de potências traz uma novidade: há um x em cada termo, então ela converge para alguns valores de x e diverge para outros. Sua tarefa é descobrir exatamente quais, e o teste da razão faz quase todo o trabalho.

Este guia mostra como encontrar o raio e o intervalo de convergência passo a passo, por que as extremidades exigem cuidado extra e traz cinco exemplos resolvidos que cobrem todos os casos que você vai encontrar numa prova.

O que é uma série de potências?

Uma série de potências centrada em a é uma soma infinita de potências de (x - a), cada uma com seu próprio coeficiente:

Pense nela como um polinômio que nunca termina. Para cada número que você coloca no lugar de x, obtém uma série numérica comum, que converge ou diverge.

O exemplo mais famoso é a série geométrica

Ela funciona perfeitamente dentro de (-1, 1) e falha em todos os outros pontos. Esse padrão, um intervalo bem definido em torno do centro, vale para toda série de potências.

Raio de convergência: as três possibilidades

Para toda série de potências centrada em a, exatamente uma destas afirmações é verdadeira:

1. Ela converge só em x = a. O raio é R = 0.
2. Ela converge para todo x. O raio é R = \infty.
3. Existe um número R > 0 tal que ela converge quando |x - a| < R e diverge quando |x - a| > R.

O número R é o raio de convergência. O intervalo de convergência é o conjunto de todos os x onde a série converge. No caso 3, é o intervalo de a - R até a + R, mais as extremidades que por acaso funcionarem.

Como encontrar o raio de convergência com o teste da razão

O teste da razão diz que uma série \sum b_n converge absolutamente se \lim_{n\to\infty} \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| < 1 e diverge se esse limite for maior que 1. Aplique-o aos termos b_n = c_n (x-a)^n:

Depois imponha L < 1 e resolva para |x - a|. A receita:

1. Escreva a razão \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| e simplifique. As potências de (x - a) se cancelam até sobrar um único |x - a|.
2. Calcule o limite quando n \to \infty. O x fica parado, porque não depende de n.
3. Resolva L < 1. Você obtém |x - a| < R.
4. Verifique as duas extremidades x = a - R e x = a + R substituindo-as.

Por que as extremidades precisam de uma verificação separada

Em x = a \pm R, o limite do teste da razão é exatamente 1, e um limite 1 não diz nada. A série pode convergir ou divergir, e as duas extremidades não precisam concordar. Então, em cada extremidade, você substitui o número na série e usa um teste diferente: o da série p, o da série alternada, o do termo geral ou uma comparação. Se precisar relembrar esses testes, veja nosso guia de testes de convergência.

Dica: nunca pule as extremidades. Responder (-1, 1) quando o correto é [-1, 1) é considerado errado, mesmo com o raio certo.

Exemplo resolvido 1: extremidades que discordam

Encontre o intervalo de convergência de \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}.

Passo 1. Monte a razão.

Passo 2. Calcule o limite. Como \frac{n}{n+1} \to 1, obtemos L = |x|.

Passo 3. Resolva L < 1. A série converge para |x| < 1, então R = 1.

Passo 4. Verifique as extremidades.

• Em x = 1, a série é \sum \frac{1}{n}, a série harmônica, que diverge.
• Em x = -1, a série é \sum \frac{(-1)^n}{n}, a série harmônica alternada, que converge pelo teste da série alternada.

O intervalo de convergência é [-1, 1).

Exemplo resolvido 2: uma série não centrada em 0

Encontre o intervalo de convergência de \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n^2\, 2^n}.

Passo 1. Monte a razão.

Passo 2. Calcule o limite. A fração \frac{n^2}{(n+1)^2} tende a 1, então L = \frac{|x-3|}{2}.

Passo 3. Resolva L < 1. Precisamos de |x - 3| < 2, então R = 2 e o intervalo aberto é 1 < x < 5.

Passo 4. Verifique as extremidades.

• Em x = 5: (x-3)^n = 2^n, e a série vira \sum \frac{2^n}{n^2\, 2^n} = \sum \frac{1}{n^2}, uma série p com p = 2. Ela converge.
• Em x = 1: (x-3)^n = (-2)^n, e a série vira \sum \frac{(-1)^n}{n^2}. Ela converge absolutamente, já que \sum \frac{1}{n^2} converge.

O intervalo de convergência é [1, 5]. Repare que o centro é 3 e o intervalo se estende 2 unidades para cada lado.

Exemplo resolvido 3: as duas extremidades divergem

Encontre o intervalo de convergência de \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\,(x+1)^n}{4^n}.

Passo 1. Monte a razão.

Passo 2. Calcule o limite. L = \frac{|x+1|}{4}.

Passo 3. Resolva L < 1. |x + 1| < 4, então R = 4 e o centro é a = -1. Isso dá -5 < x < 3.

Passo 4. Verifique as extremidades.

• Em x = 3: a série é \sum \frac{n \cdot 4^n}{4^n} = \sum n. Os termos crescem, então ela diverge pelo teste do termo geral.
• Em x = -5: a série é \sum n(-1)^n. Os termos não tendem a 0, então ela também diverge.

O intervalo de convergência é (-5, 3).

Atenção ao centro. Em (x + 1)^n, o centro é a = -1, não 1. Reescreva como (x - (-1))^n se isso ajudar.

Exemplo resolvido 4: raio infinito e raio zero

Os fatoriais empurram o raio para um dos dois extremos.

Série A: \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.

O limite é 0 para todo x, e 0 < 1 sempre. Então R = \infty e o intervalo é (-\infty, \infty). Não há extremidades para verificar. (Essa série é igual a e^x, como você vai ver no nosso guia de séries de Taylor.)

Série B: \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n!\, x^n.

Se x \ne 0, isso cresce sem limite, então a série diverge. Ela só converge no centro. Então R = 0 e o "intervalo" é o ponto único \{0\}.

Exemplo resolvido 5: um coeficiente em x

Encontre o raio de convergência de \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x-1)^n}{5^n}.

Passo 1. Monte a razão. A razão entre termos consecutivos é \frac{|2x - 1|}{5}, sem nenhum n sobrando, então L = \frac{|2x-1|}{5}.

Passo 2. Resolva L < 1. |2x - 1| < 5. Coloque o 2 em evidência para chegar à forma |x - a| < R:

Então o centro é a = \frac{1}{2} e o raio é R = \frac{5}{2}, não 5. O intervalo aberto é -2 < x < 3.

Passo 3. Verifique as extremidades. Em x = 3 a série é \sum 1^n, e em x = -2 ela é \sum (-1)^n. Em nenhuma das duas os termos tendem a 0, então ambas divergem. O intervalo é (-2, 3).

Erros comuns com séries de potências

1. Esquecer as extremidades. É o ponto perdido mais comum. O teste da razão nunca as decide.
2. Ler o centro errado. (x + 2)^n é centrada em -2, e (3x - 6)^n é centrada em 2.
3. Não colocar o coeficiente de x em evidência. A partir de |2x - 1| < 5, o raio é \frac{5}{2}. Reescreva sempre como |x - a| < R primeiro.
4. Perder o módulo. O teste da razão usa |x - a|. Sem ele, você perde a metade esquerda do intervalo.
5. Deixar x "ir para o infinito" junto com n. No limite, x é um número fixo. Só n muda.
6. Usar o resultado do teste da razão numa extremidade. Numa extremidade você precisa de outro teste, aplicado à série com o número substituído.

Resumo rápido: raio e intervalo de convergência

Um padrão útil das três primeiras linhas: fatores polinomiais como n ou n^2 não mudam o raio, mas podem mudar o que acontece nas extremidades.

Pratique até os passos ficarem automáticos

Encontrar um intervalo de convergência é uma rotina fixa: razão, limite, resolver, verificar duas extremidades. A rotina só fica rápida depois que você a aplica em uma dúzia de séries diferentes. A lição interativa abaixo traz séries novas para você resolver, confere cada passo na hora e mostra exatamente onde um teste de extremidade deu errado.