Séries entières : rayon et intervalle de convergence, exemples

Vous savez déterminer si une série numérique converge. Une série entière ajoute une difficulté : elle contient un x dans chaque terme, donc elle converge pour certaines valeurs de x et diverge pour d'autres. Votre travail est de trouver exactement lesquelles, et le critère de d'Alembert fait presque tout le travail.

Ce guide montre comment trouver le rayon et l'intervalle de convergence pas à pas, pourquoi les bornes demandent une attention particulière, et cinq exemples corrigés qui couvrent tous les cas que vous rencontrerez en examen.

Qu'est-ce qu'une série entière ?

Une série entière centrée en a est une somme infinie de puissances de (x - a), chacune avec son propre coefficient :

Voyez-la comme un polynôme qui ne s'arrête jamais. Pour chaque nombre que vous mettez à la place de x, vous obtenez une série numérique ordinaire, qui converge ou diverge.

L'exemple le plus célèbre est la série géométrique

Elle fonctionne parfaitement à l'intérieur de (-1, 1) et échoue partout ailleurs. Ce schéma, un intervalle bien net autour du centre, est vrai pour toute série entière.

Rayon de convergence : les trois possibilités

Pour toute série entière centrée en a, exactement une de ces affirmations est vraie :

1. Elle converge seulement en x = a. Le rayon vaut R = 0.
2. Elle converge pour tout x. Le rayon vaut R = \infty.
3. Il existe un nombre R > 0 tel qu'elle converge quand |x - a| < R et diverge quand |x - a| > R.

Le nombre R est le rayon de convergence. L'intervalle de convergence est l'ensemble de tous les x pour lesquels la série converge. Dans le cas 3, c'est l'intervalle de a - R à a + R, plus les bornes qui conviennent éventuellement.

Trouver le rayon de convergence avec le critère de d'Alembert

Le critère de d'Alembert dit qu'une série \sum b_n converge absolument si \lim_{n\to\infty} \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| < 1 et diverge si cette limite est supérieure à 1. On l'applique aux termes b_n = c_n (x-a)^n :

On pose ensuite L < 1 et on résout en |x - a|. La recette :

1. Écrivez le rapport \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| et simplifiez-le. Les puissances de (x - a) se simplifient en un seul |x - a|.
2. Prenez la limite quand n \to \infty. Le x ne bouge pas, car il ne dépend pas de n.
3. Résolvez L < 1. Vous obtenez |x - a| < R.
4. Étudiez les deux bornes x = a - R et x = a + R en les remplaçant dans la série.

Pourquoi les bornes demandent une étude à part

En x = a \pm R, la limite du critère de d'Alembert vaut exactement 1, et une limite de 1 ne dit rien. La série peut converger ou diverger, et les deux bornes ne sont pas obligées de se comporter de la même façon. À chaque borne, on substitue donc le nombre dans la série et on utilise un autre critère : séries de Riemann, critère des séries alternées, condition nécessaire sur le terme général ou comparaison. Pour réviser ces outils, consultez notre guide sur les critères de convergence.

Astuce : n'oubliez jamais les bornes. Répondre (-1, 1) quand la bonne réponse est [-1, 1) est compté faux, même si le rayon est juste.

Exemple corrigé 1 : des bornes qui diffèrent

Trouvez l'intervalle de convergence de \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}.

Étape 1. Écrire le rapport.

Étape 2. Prendre la limite. Comme \frac{n}{n+1} \to 1, on obtient L = |x|.

Étape 3. Résoudre L < 1. La série converge pour |x| < 1, donc R = 1.

Étape 4. Étudier les bornes.

• En x = 1, la série est \sum \frac{1}{n}, la série harmonique, qui diverge.
• En x = -1, la série est \sum \frac{(-1)^n}{n}, la série harmonique alternée, qui converge d'après le critère des séries alternées.

L'intervalle de convergence est [-1, 1).

Exemple corrigé 2 : une série qui n'est pas centrée en 0

Trouvez l'intervalle de convergence de \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n^2\, 2^n}.

Étape 1. Écrire le rapport.

Étape 2. Prendre la limite. La fraction \frac{n^2}{(n+1)^2} tend vers 1, donc L = \frac{|x-3|}{2}.

Étape 3. Résoudre L < 1. Il faut |x - 3| < 2, donc R = 2 et l'intervalle ouvert est 1 < x < 5.

Étape 4. Étudier les bornes.

• En x = 5 : (x-3)^n = 2^n, et la série devient \sum \frac{2^n}{n^2\, 2^n} = \sum \frac{1}{n^2}, une série de Riemann avec p = 2. Elle converge.
• En x = 1 : (x-3)^n = (-2)^n, et la série devient \sum \frac{(-1)^n}{n^2}. Elle converge absolument, puisque \sum \frac{1}{n^2} converge.

L'intervalle de convergence est [1, 5]. Remarquez que le centre est 3 et que l'intervalle s'étend de 2 unités de chaque côté.

Exemple corrigé 3 : les deux bornes divergent

Trouvez l'intervalle de convergence de \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\,(x+1)^n}{4^n}.

Étape 1. Écrire le rapport.

Étape 2. Prendre la limite. L = \frac{|x+1|}{4}.

Étape 3. Résoudre L < 1. |x + 1| < 4, donc R = 4 et le centre est a = -1. Cela donne -5 < x < 3.

Étape 4. Étudier les bornes.

• En x = 3 : la série est \sum \frac{n \cdot 4^n}{4^n} = \sum n. Les termes grandissent, donc elle diverge (le terme général ne tend pas vers 0).
• En x = -5 : la série est \sum n(-1)^n. Les termes ne tendent pas vers 0, donc elle diverge aussi.

L'intervalle de convergence est (-5, 3).

Attention au centre. Dans (x + 1)^n, le centre est a = -1, et non 1. Réécrivez-le (x - (-1))^n si cela aide.

Exemple corrigé 4 : rayon infini et rayon nul

Les factorielles poussent le rayon vers l'un des deux extrêmes.

Série A : \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.

La limite vaut 0 pour tout x, et 0 < 1 toujours. Donc R = \infty et l'intervalle est (-\infty, \infty). Il n'y a pas de bornes à étudier. (Cette série est égale à e^x, comme vous le verrez dans notre guide sur les séries de Taylor.)

Série B : \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n!\, x^n.

Si x \ne 0, cette quantité grandit sans limite, donc la série diverge. Elle ne converge qu'en son centre. Donc R = 0 et « l'intervalle » est le seul point \{0\}.

Exemple corrigé 5 : un coefficient devant x

Trouvez le rayon de convergence de \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x-1)^n}{5^n}.

Étape 1. Écrire le rapport. Le rapport de deux termes consécutifs vaut \frac{|2x - 1|}{5}, sans n restant, donc L = \frac{|2x-1|}{5}.

Étape 2. Résoudre L < 1. |2x - 1| < 5. On met le 2 en facteur pour obtenir la forme |x - a| < R :

Le centre est donc a = \frac{1}{2} et le rayon R = \frac{5}{2}, et non 5. L'intervalle ouvert est -2 < x < 3.

Étape 3. Étudier les bornes. En x = 3, la série est \sum 1^n, et en x = -2, c'est \sum (-1)^n. Aucune des deux n'a un terme général qui tend vers 0, donc les deux divergent. L'intervalle est (-2, 3).

Erreurs fréquentes avec les séries entières

1. Oublier les bornes. C'est la perte de points la plus fréquente. Le critère de d'Alembert ne tranche jamais aux bornes.
2. Lire le mauvais centre. (x + 2)^n est centrée en -2, et (3x - 6)^n est centrée en 2.
3. Ne pas mettre en facteur le coefficient de x. À partir de |2x - 1| < 5, le rayon vaut \frac{5}{2}. Réécrivez toujours d'abord sous la forme |x - a| < R.
4. Oublier la valeur absolue. Le critère de d'Alembert utilise |x - a|. Sans elle, on perd la moitié gauche de l'intervalle.
5. Faire « tendre x vers l'infini » avec n. Dans la limite, x est un nombre fixé. Seul n varie.
6. Utiliser le résultat de d'Alembert à une borne. À une borne, il faut un autre critère, appliqué à la série où l'on a substitué le nombre.

Mémo : rayon et intervalle de convergence

Un schéma utile tiré des trois premières lignes : les facteurs polynomiaux comme n ou n^2 ne changent pas le rayon, mais ils peuvent changer ce qui se passe aux bornes.

Entraînez-vous jusqu'à l'automatisme

Trouver un intervalle de convergence est une routine fixe : rapport, limite, résolution, étude des deux bornes. Cette routine ne devient rapide qu'après l'avoir appliquée à une douzaine de séries différentes. La leçon interactive ci-dessous vous propose de nouvelles séries à traiter, vérifie chaque étape instantanément et vous montre exactement où l'étude d'une borne s'est trompée.