Exercícios de regra do produto e do quociente, com respostas

Estes exercícios de regra do produto e do quociente começam com produtos de dois fatores, passam para quocientes e terminam com um produto de três fatores, um produto dentro de um quociente e um exercício com tabela de valores. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas.

As duas regras:

Para revisar, veja as páginas da regra do produto e da regra do quociente, ou o guia das regras do produto e do quociente.

Exercícios

Regra do produto

1. y = x^2 e^x
2. y = (x^2 + 1)(3x - 2)
3. y = \sqrt{x}\,\ln x
4. y = e^x\cos x

Regra do quociente

5. y = \dfrac{x}{x + 1}
6. y = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 3}
7. y = \dfrac{\sin x}{x}
8. y = \dfrac{\ln x}{x}
9. y = \dfrac{e^x}{x^2}

Juntando as duas

10. y = x\,e^x\sin x
11. y = \dfrac{x^2 e^x}{x + 1}
12. Dados f(2) = 3, f'(2) = -1, g(2) = 4 e g'(2) = 5, encontre (fg)'(2) e \left(\dfrac{f}{g}\right)'(2).

Respostas

Resolução passo a passo

1. Seja f = x^2 e g = e^x, então f' = 2x e g' = e^x:

2. Seja f = x^2 + 1 e g = 3x - 2:

Você pode conferir desenvolvendo primeiro: y = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2 dá a mesma derivada.

3. Seja f = \sqrt{x} e g = \ln x, então f' = \frac{1}{2\sqrt{x}} e g' = \frac{1}{x}:

Aqui \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{2}{2\sqrt{x}}.

4. A derivada de \cos x é -\sin x:

5. Numerador x, denominador x + 1, e as duas derivadas valem 1:

6. Derivada do numerador 2, derivada do denominador 2x:

7. Derivada do numerador \cos x, derivada do denominador 1:

8. Derivada do numerador \frac{1}{x}, derivada do denominador 1:

9. Derivada do numerador e^x, derivada do denominador 2x:

10. Três fatores, então três termos. Derive x, depois e^x, depois \sin x, um de cada vez:

11. O numerador é um produto. Pelo exercício 1, sua derivada é (x^2 + 2x)e^x. Agora use a regra do quociente:

Coloque e^x em evidência no numerador e desenvolva: (x^2 + 2x)(x + 1) - x^2 = x^3 + 2x^2 + 2x = x(x^2 + 2x + 2). Assim

12. Substitua os valores em cada regra:

Erros comuns nestes exercícios

• Multiplicar as derivadas. (x^2e^x)' \ne 2x\cdot e^x. A regra do produto sempre dá dois termos.
• Subtrair na ordem errada. No exercício 6, escrever (2x - 1)(2x) - 2(x^2 + 3) no numerador dá o valor certo em módulo, mas com o sinal trocado.
• Esquecer de elevar o denominador ao quadrado. O denominador da regra do quociente é g^2, e não g.
• Desenvolver quando fatorar é mais fácil. No exercício 9, coloque xe^x em evidência no numerador para poder cancelar um x.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limites, com funções novas e correção imediata, faça a lição de regra do produto e a lição de regra do quociente. Quando os próprios fatores tiverem algo dentro, como x^2\sin(3x), siga para os exercícios de regra da cadeia.