Exercícios de regra da potência resolvidos, com respostas

Estes exercícios de regra da potência começam com potências simples e polinômios e avançam para expoentes negativos e fracionários, funções que precisam ser reescritas antes de derivar e retas tangentes. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas.

A regra:

Você também vai usar a regra da soma e da diferença e a regra da constante multiplicativa em quase todos os exercícios. Para revisar, leia a página da regra da potência.

Exercícios

Potências e polinômios

1. y = x^7
2. y = 4x^5
3. y = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 9

Expoentes negativos e fracionários

4. y = \dfrac{1}{x^3}
5. y = 6\sqrt{x}
6. y = \sqrt[3]{x^2}
7. y = \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{2}{\sqrt{x}}

Reescreva primeiro

8. y = (2x + 1)(x - 3)
9. y = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^2}
10. y = x^\pi + \pi^2

Retas tangentes

11. Encontre a reta tangente a y = x^3 - 2x em x = 2.
12. Encontre os pontos em que y = x^3 - 3x^2 tem reta tangente horizontal.

Respostas

Resolução passo a passo

1. Desça o 7 e subtraia 1 do expoente:

2. A constante 4 apenas acompanha:

3. Derive termo a termo. A derivada de 5x é 5 e a derivada da constante -9 é 0:

4. Reescreva como y = x^{-3}. Então -3 - 1 = -4:

5. Reescreva como y = 6x^{1/2}:

6. Reescreva como y = x^{2/3}. Então \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}:

7. Reescreva os dois termos como potências: y = 5x^{-2} - 2x^{-1/2}.

8. Primeiro desenvolva: (2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 5x - 3.

A derivada de um produto não é o produto das derivadas. Desenvolver evita essa armadilha, ou você pode usar a regra do produto.

9. O denominador tem um único termo, então separe a fração:

10. \pi é um expoente constante, então a regra da potência vale para x^\pi. O termo \pi^2 \approx 9.87 é só um número, então sua derivada é 0:

11. O ponto é y(2) = 8 - 4 = 4. A inclinação é y' = 3x^2 - 2, então y'(2) = 10:

12. Uma tangente horizontal tem inclinação 0:

Os pontos são (0, 0) e (2, 8 - 12) = (2, -4).

Erros comuns nestes exercícios

• Errar o sentido com expoentes negativos. No exercício 4, x^{-3} vira -3x^{-4}, e não -3x^{-2}. Subtrair 1 sempre anda para a esquerda na reta numérica.
• Derivar uma raiz sem reescrever. Escreva \sqrt[3]{x^2} como x^{2/3} antes de começar.
• Derivar um produto fator por fator. No exercício 8, (2)(1) = 2 está errado. Desenvolva ou use a regra do produto.
• Tratar \pi^2 como variável. No exercício 10, \pi^2 é uma constante, então sua derivada é 0, e não 2\pi.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limites, com números novos a cada vez e correção imediata, faça a lição de regra da potência e depois a prática de regra da potência. Para mais exemplos e o raciocínio por trás da regra, leia o guia da regra da potência. Em seguida, tente os exercícios de regra do produto e do quociente.