Exercícios de derivadas trigonométricas resolvidos, com respostas

Estes exercícios de derivadas de funções trigonométricas começam com as seis derivadas básicas, acrescentam as regras do produto e do quociente, depois a regra da cadeia, e terminam com uma derivada segunda e uma reta tangente. Tente cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

As seis derivadas de que você precisa:

Cada uma tem a sua própria página com demonstração, por exemplo a derivada de tg x e a derivada de sec x. Para uma visão geral, leia o guia de derivadas trigonométricas.

Exercícios

Derivadas básicas

1. y = 3\sin x - 2\cos x
2. y = \tan x + \sec x
3. y = 4\csc x - \cot x

Regras do produto e do quociente

4. y = x^2\cos x
5. y = \sin x\cos x
6. y = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x}

Regra da cadeia

7. y = \sin(5x)
8. y = \cos(x^2)
9. y = \tan^3 x
10. y = \sec(3x)

Derivadas segundas e retas tangentes

11. Encontre y'' para y = \sin(2x).
12. Encontre a reta tangente a y = \tan x em x = \frac{\pi}{4}.

Respostas

Resolução passo a passo

1. Derive cada termo. O sinal de menos de (\cos x)' = -\sin x encontra o -2:

2. Use as duas derivadas direto da tabela:

3. Tanto \csc x quanto \cot x têm derivadas negativas:

4. Use a regra do produto com f = x^2 e g = \cos x:

5. Regra do produto de novo:

Pela identidade do arco duplo, isso é igual a \cos(2x). Dá para confirmar de outro jeito: \sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x), cuja derivada é \cos(2x).

6. Use a regra do quociente. A derivada do denominador é -\sin x:

Como \cos^2 x + \sin^2 x = 1, o numerador é 1 + \cos x, e um fator se cancela:

7. A função de dentro é 5x, com derivada 5:

8. A função de dentro é x^2, com derivada 2x:

9. Escreva y = (\tan x)^3. A função de fora é um cubo e a de dentro é \tan x:

10. A função de fora é \sec u, com derivada \sec u\tan u, e u = 3x:

11. Derive duas vezes, usando a regra da cadeia em cada uma:

12. O ponto é \tan\frac{\pi}{4} = 1. A inclinação é \sec^2\frac{\pi}{4} = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2:

Erros comuns nestes exercícios

• Esquecer o sinal de menos. As derivadas de \cos x, \cot x e \csc x são todas negativas. O exercício 3 tem duas delas.
• Escrever \sec^2 x como \sec(x^2). \sec^2 x significa (\sec x)^2. São funções muito diferentes.
• Esquecer a derivada da função de dentro. \sin(5x) tem derivada 5\cos(5x), não \cos(5x).
• Usar graus. No exercício 12 o ângulo é \frac{\pi}{4} radianos. Usar 45 na reta tangente estaria errado.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com novas funções e correção imediata, experimente a lição de derivadas trigonométricas e depois a lição de regra da cadeia com funções trigonométricas. Para as funções inversas, como \arcsin x e \arctan x, passe para os exercícios de derivadas de funções trigonométricas inversas.